Algebravorstufe Beispiele

$64 x^{2} + b x + 49$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $64 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x + 49 = - 64 x^{2}$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x = - 64 x^{2} - 49$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $y x = - 64 x^{2} - 49$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y x = - 64 x^{2} - 49$ durch $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{- 64 x^{2}}{x} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x}{x} = \frac{- 64 x^{2}}{x} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 64 x^{2}}{x} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (- 64 x)}{x} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (- 64 x)}{x^{1}} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (- 64 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- 64 x)}{x \cdot 1} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 64 x}{1} + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.1.2.5

Dividiere $- 64 x$ durch $1$ .

$y = - 64 x + \frac{- 49}{x}$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - 64 x - \frac{49}{x}$

Schritt 2

Ermittle, wo der Ausdruck $- 64 x - \frac{49}{x}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

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Schritt 6.1.1

Um $- 64 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- 64 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{49}{x}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $- 64 x$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 64 x \cdot x}{x} - \frac{49}{x}$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 64 x \cdot x - 49}{x}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 64 (x \cdot x) - 49}{x}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 64 x^{2} - 49}{x}$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 64 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (64 x^{2}) - 49}{x}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$\frac{- (64 x^{2}) - 1 (49)}{x}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (64 x^{2}) - 1 (49)$ heraus.

$\frac{- (64 x^{2} + 49)}{x}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.8.1

Schreibe $- (64 x^{2} + 49)$ als $- 1 (64 x^{2} + 49)$ um.

$\frac{- 1 (64 x^{2} + 49)}{x}$

Schritt 6.1.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 x^{2} + 49}{x}$

Schritt 6.1.9

Vereinfache.

$\frac{- 64 x^{2} - 49}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 64 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (64 x^{2}) - 49}{x}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $- 49$ als $- 1 (49)$ um.

$\frac{- (64 x^{2}) - 1 (49)}{x}$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (64 x^{2}) - 1 (49)$ heraus.

$\frac{- (64 x^{2} + 49)}{x}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $- (64 x^{2} + 49)$ als $- 1 (64 x^{2} + 49)$ um.

$\frac{- 1 (64 x^{2} + 49)}{x}$

Schritt 6.2.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{64 x^{2} + 49}{x}$

Schritt 6.3

Multipliziere $- (64 x^{2} + 49)$ aus.

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Schritt 6.3.1

Kehre das Vorzeichen von $64 x^{2} + 49$ um.

$\frac{- (64 x^{2} + 49)}{x}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (64 x^{2}) - 1 \cdot 49}{x}$

Schritt 6.3.3

Entferne die Klammern.

$\frac{- 1 \cdot (64 x^{2}) - 1 \cdot 49}{x}$

Schritt 6.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{- 64 x^{2} - 1 \cdot 49}{x}$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{- 64 x^{2} - 49}{x}$

Schritt 6.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$64 x^{2}$

$0 x$

$49$

Schritt 6.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 64 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$64 x$
	$x$	+	$0$	-	$64 x^{2}$	+	$0 x$	-	$49$

Schritt 6.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$64 x$
$x$	+	$0$	-	$64 x^{2}$	+	$0 x$	-	$49$
			-	$64 x^{2}$	+	$0$

Schritt 6.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 64 x^{2} + 0$

			-	$64 x$
$x$	+	$0$	-	$64 x^{2}$	+	$0 x$	-	$49$
			+	$64 x^{2}$	-	$0$

Schritt 6.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$64 x$
$x$	+	$0$	-	$64 x^{2}$	+	$0 x$	-	$49$
			+	$64 x^{2}$	-	$0$
						$0$

Schritt 6.9

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$64 x$
$x$	+	$0$	-	$64 x^{2}$	+	$0 x$	-	$49$
			+	$64 x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$49$

Schritt 6.10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- 64 x - \frac{49}{x}$

Schritt 6.11

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - 64 x$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - 64 x$

Schritt 8