Algebravorstufe Beispiele

$f (t) = \frac{1}{4} \cdot (t^{2} - 2 t + 15)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (x^{2} - 2 x + 15)$ .

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 x) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- x)) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot 15$

Schritt 1.1.1.2.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $15$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{15}{4}$

Schritt 1.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{15}{4}$ an.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = \frac{15}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.1.2.3.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $1 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.2.3.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$d = - 1$

Schritt 1.1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{15}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{15}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$e = \frac{15}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = \frac{15}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Schritt 1.1.2.4.2.1.4

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

$e = \frac{15}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{15 - 1}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.3

Subtrahiere $1$ von $15$ .

$e = \frac{14}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$e = \frac{2 (7)}{4}$

Schritt 1.1.2.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{7}{2}$

Schritt 1.1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$ ein.

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 1.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = \frac{7}{2}$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(1, \frac{7}{2})$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache durch Teilen von Zahlen.

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Schritt 1.5.3.2.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, \frac{9}{2})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 1$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{7}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{7}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{4} - \frac{0}{2} + \frac{15}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 15}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $15$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + \frac{0}{2}$

Schritt 2.2.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (0) = \frac{15}{4} + 0$

Schritt 2.2.2.4

Addiere $\frac{15}{4}$ und $0$ .

$f (0) = \frac{15}{4}$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{- 1}{2} + \frac{15}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} + 15}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 15}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2

Addiere $1$ und $15$ .

$f (- 1) = \frac{16}{4} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.3

Dividiere $16$ durch $4$ .

$f (- 1) = 4 + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.4

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{8 + 1}{2}$

Schritt 2.5.6.2

Addiere $8$ und $1$ .

$f (- 1) = \frac{9}{2}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{4} - \frac{2}{2} + \frac{15}{4}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{4 + 15}{4} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.8.2.2

Addiere $4$ und $15$ .

$f (2) = \frac{19}{4} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.8.2.3

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{19}{4} - 1$

Schritt 2.8.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{19}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.8.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{19}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{19 - 1 \cdot 4}{4}$

Schritt 2.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{19 - 4}{4}$

Schritt 2.8.6.2

Subtrahiere $4$ von $19$ .

$f (2) = \frac{15}{4}$

Schritt 2.8.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $\frac{15}{4}$ .

$y = \frac{15}{4}$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{4} - \frac{3}{2} + \frac{15}{4}$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{{(3)}^{2} + 15}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.11.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{9 + 15}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.11.1.2.2

Addiere $9$ und $15$ .

$f (3) = \frac{24}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.11.2.1

Dividiere $24$ durch $4$ .

$f (3) = 6 + \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = 6 - \frac{3}{2}$

Schritt 2.11.3

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 2.11.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 2.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.11.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{12 - 3}{2}$

Schritt 2.11.6.2

Subtrahiere $3$ von $12$ .

$f (3) = \frac{9}{2}$

Schritt 2.11.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{9}{2} \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & \frac{7}{2} \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & \frac{9}{2} \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(1, \frac{7}{2})$

Brennpunkt: $(1, \frac{9}{2})$

Symmetrieachse: $x = 1$

Leitlinie: $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{9}{2} \\ 0 & \frac{15}{4} \\ 1 & \frac{7}{2} \\ 2 & \frac{15}{4} \\ 3 & \frac{9}{2} \end{array}$

Schritt 4