Algebravorstufe Beispiele

$c (x) = 0$ , $2 x^{2} + 10 x + 800$

Schritt 1

Stelle $c (x) = 0$ graphisch dar.

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Schritt 1.1

Schreibe die Funktion als Gleichung um.

$y = 0$

Schritt 1.2

Benutze die Normalform, um die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Die Normalform ist $y = m x + b$ , wobei $m$ die Steigung und $b$ der Schnittpunkt mit der y-Achse ist.

$y = m x + b$

Schritt 1.2.2

Ermittle die Werte von $m$ und $b$ unter Anwendung der Form $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = 0$

Schritt 1.2.3

Die Steigung der Geraden ist der Wert von $m$ und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Wert von $b$ .

Steigung: $0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

Steigung: $0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 1.3

Ermittle 2 Punkte der Geraden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Schritt 1.4

Zeichne die Gerade mithilfe der Steigung, des Schnittpunkt mit der y-Achses und zweier Punkte.

Steigung: $0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Steigung: $0$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $(0, 0)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}$

Schritt 2

Stelle $2 x^{2} + 10 x + 800$ graphisch dar.

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Schritt 2.1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} + 10 x + 800$ an.

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Schritt 2.1.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = 10$

$c = 800$

Schritt 2.1.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{10}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (2)}$

Schritt 2.1.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 800 - \frac{10^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1.4.2.1.1

Potenziere $10$ mit $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 800 - \frac{100}{8}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $8$ .

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Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $100$ heraus.

$e = 800 - \frac{4 (25)}{8}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 800 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 800 - \frac{25}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.2

Um $800$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = 800 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.3

Kombiniere $800$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{800 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{800 \cdot 2 - 25}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $800$ mit $2$ .

$e = \frac{1600 - 25}{2}$

Schritt 2.1.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $25$ von $1600$ .

$e = \frac{1575}{2}$

Schritt 2.1.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$ ein.

$2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Schritt 2.1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{1575}{2}$

Schritt 2.1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{1575}{2}$

Schritt 2.1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Schritt 2.1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8}$

Schritt 2.1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Schritt 2.1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{6299}{8}$

Schritt 2.1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{6299}{8}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{6299}{8}$

Schritt 2.2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = 2 {(- 3)}^{2} + 10 (- 3) + 800$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 2 \cdot 9 + 10 (- 3) + 800$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$f (- 3) = 18 + 10 (- 3) + 800$

Schritt 2.2.2.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = 18 - 30 + 800$

Schritt 2.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Subtrahiere $30$ von $18$ .

$f (- 3) = - 12 + 800$

Schritt 2.2.2.2.2

Addiere $- 12$ und $800$ .

$f (- 3) = 788$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $788$ .

$788$

Schritt 2.2.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $788$ .

$y = 788$

Schritt 2.2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{2} + 10 (- 4) + 800$

Schritt 2.2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 2 \cdot 16 + 10 (- 4) + 800$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f (- 4) = 32 + 10 (- 4) + 800$

Schritt 2.2.5.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = 32 - 40 + 800$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.5.2.1

Subtrahiere $40$ von $32$ .

$f (- 4) = - 8 + 800$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $- 8$ und $800$ .

$f (- 4) = 792$

Schritt 2.2.5.3

Die endgültige Lösung ist $792$ .

$792$

Schritt 2.2.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $792$ .

$y = 792$

Schritt 2.2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 800$

Schritt 2.2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.8.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 + 10 (- 1) + 800$

Schritt 2.2.8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 2 + 10 (- 1) + 800$

Schritt 2.2.8.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 10 + 800$

Schritt 2.2.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.8.2.1

Subtrahiere $10$ von $2$ .

$f (- 1) = - 8 + 800$

Schritt 2.2.8.2.2

Addiere $- 8$ und $800$ .

$f (- 1) = 792$

Schritt 2.2.8.3

Die endgültige Lösung ist $792$ .

$792$

Schritt 2.2.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $792$ .

$y = 792$

Schritt 2.2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} + 10 (0) + 800$

Schritt 2.2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.11.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 10 (0) + 800$

Schritt 2.2.11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 10 (0) + 800$

Schritt 2.2.11.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 800$

Schritt 2.2.11.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.11.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 800$

Schritt 2.2.11.2.2

Addiere $0$ und $800$ .

$f (0) = 800$

Schritt 2.2.11.3

Die endgültige Lösung ist $800$ .

$800$

Schritt 2.2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $800$ .

$y = 800$

Schritt 2.2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Schritt 2.3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{1575}{2})$

Brennpunkt: $(- \frac{5}{2}, \frac{6301}{8})$

Symmetrieachse: $x = - \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = \frac{6299}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 792 \\ - 3 & 788 \\ - \frac{5}{2} & \frac{1575}{2} \\ - 1 & 792 \\ 0 & 800 \end{array}$

Schritt 3

Stelle jeden Graphen im gleichen Koordinatensystem dar.

$c (x) = 0$

$2 x^{2} + 10 x + 800$

Schritt 4