Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \sqrt{e^{x} x}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{e^{x} x}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x e^{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x e^{x} \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 1.2.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 1.2.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 1.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x e^{x} \geq 0$ wahr machen.

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{(0) \cdot e^{0}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $e^{0}$ .

$f (0) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, \sqrt{e})$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \sqrt{(1) \cdot e^{1}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$f (1) = \sqrt{e}$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{e}$ .

$y = \sqrt{e}$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \sqrt{x e^{x}}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, e \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \sqrt{(2) \cdot e^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Stelle $2$ und $e^{2}$ um.

$f (2) = \sqrt{e^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (2) = e \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $e \sqrt{2}$ .

$y = e \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, 0), (1, 1.65), (2, 3.84)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 1.65 \\ 2 & 3.84 \end{array}$

Schritt 5