Algebravorstufe Beispiele

$y = {(x + 2)}^{2} - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1

Vereinfache ${(x + 2)}^{2} - 9 (x + 2) + 20$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$y = (x + 2) (x + 2) - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 - 9 (x + 2) + 20$

Schritt 1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{2} + 4 x + 4 - 9 x - 9 \cdot 2 + 20$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 - 9 x - 18 + 20$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $9 x$ von $4 x$ .

$y = x^{2} - 5 x + 4 - 18 + 20$

Schritt 1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $4$ .

$y = x^{2} - 5 x - 14 + 20$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $- 14$ und $20$ .

$y = x^{2} - 5 x + 6$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 5 x + 6$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 6$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 6 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 6 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 6 - \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$e = 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{6 \cdot 4 - 25}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$e = \frac{24 - 25}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $25$ von $24$ .

$e = \frac{- 1}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = \frac{5}{2}$

$k = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{5}{2}, 0)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{5}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{5}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$f (1) = 2$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 + 6$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 6$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6$

Schritt 3.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 6$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (0) = 6$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 5 \cdot 3 + 6$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 9 - 5 \cdot 3 + 6$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (3) = 9 - 15 + 6$

Schritt 3.8.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $15$ von $9$ .

$f (3) = - 6 + 6$

Schritt 3.8.2.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (3) = 0$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 + 6$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = 16 - 5 \cdot 4 + 6$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$f (4) = 16 - 20 + 6$

Schritt 3.11.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.11.2.1

Subtrahiere $20$ von $16$ .

$f (4) = - 4 + 6$

Schritt 3.11.2.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$f (4) = 2$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6 \\ 1 & 2 \\ \frac{5}{2} & - \frac{1}{4} \\ 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(\frac{5}{2}, - \frac{1}{4})$

Brennpunkt: $(\frac{5}{2}, 0)$

Symmetrieachse: $x = \frac{5}{2}$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6 \\ 1 & 2 \\ \frac{5}{2} & - \frac{1}{4} \\ 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}$

Schritt 5