Algebravorstufe Beispiele

$y = \sqrt{2 x + 5}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \sqrt{2 x + 5}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x + 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x + 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 5}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{5}{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{5}{2}}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{5}{2}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $- \frac{5}{2}$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \sqrt{2 x + 5}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{- 5 + 5}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- \frac{5}{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{5}{2}) = 0$

Schritt 2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(- \frac{5}{2}, 0)$ .

$(- \frac{5}{2}, 0)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = \sqrt{2 x + 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (- 2) + 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 5}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $- 4$ und $5$ .

$f (- 2) = \sqrt{1}$

Schritt 4.1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 2) = 1$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $- 1$ in $f (x) = \sqrt{2 x + 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 1, \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (- 1) + 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{- 2 + 5}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{3}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Setze den $x$ -Wert $0$ in $f (x) = \sqrt{2 x + 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(0, \sqrt{5})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{2 (0) + 5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{0 + 5}$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$f (0) = \sqrt{5}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Schritt 4.4

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 2.5, 0), (- 2, 1), (- 1, 1.73), (0, 2.24)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2.5 & 0 \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 1.73 \\ 0 & 2.24 \end{array}$

Schritt 5