Algebravorstufe Beispiele

$y = - 13 \sin (\frac{π}{12} x - 1) + 50$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 13$

$b = \frac{π}{12}$

$c = 1$

$d = 50$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $13$

Schritt 3

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 3.1

Ermittele die Periode von $- 13 \sin (\frac{π x}{12} - 1)$ .

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Schritt 3.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{12}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{12} |}$

Schritt 3.1.3

$\frac{π}{12}$ ist ungefähr $0.26179938$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{12}}$

Schritt 3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{12}{π}$

Schritt 3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Schritt 3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Schritt 3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 12$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24$

Schritt 3.2

Ermittele die Periode von $50$ .

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Schritt 3.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{12}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{12} |}$

Schritt 3.2.3

$\frac{π}{12}$ ist ungefähr $0.26179938$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{12}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{12}{π}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{12}{π}$

Schritt 3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 12$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$24$

Schritt 3.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$24$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{1}{\frac{π}{12}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $1 (\frac{12}{π})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{12}{π}$ mit $1$ .

Phasenverschiebung: $\frac{12}{π}$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $13$

Periode: $24$

Phasenverschiebung: $\frac{12}{π}$ ( $\frac{12}{π}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $50$

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 6 + \frac{12}{π}$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6 + \frac{12}{π}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (6 + \frac{12}{π})}{12} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 + \frac{12}{π}$ und $12$ .

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Schritt 6.1.2.1.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $π (6 + \frac{12}{π})$ heraus.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{12} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{6 (2)} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{6 (π (1 + \frac{2}{π}))}{6 \cdot 2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (1 + \frac{2}{π})}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (\frac{π}{π} + \frac{2}{π})}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π (\frac{π + 2}{π})}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Kombiniere $π$ und $\frac{π + 2}{π}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π (π + 2)}{π}}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.4.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{π (π + 2)}{π}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1.1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π (π + 2)}{π}}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{\frac{π + 2}{1}}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.1.4.2

Dividiere $π + 2$ durch $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} - 1) + 50$

Schritt 6.1.2.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2 - 1 \cdot 2}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 2 - 2}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.5.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π + 0}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.5.3

Addiere $π$ und $0$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \sin (\frac{π}{2}) + 50$

Schritt 6.1.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 \cdot 1 + 50$

Schritt 6.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 13$ mit $1$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = - 13 + 50$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $- 13$ und $50$ .

$f (6 + \frac{12}{π}) = 37$

Schritt 6.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $37$ .

$37$

Schritt 6.2

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 6 + \frac{12}{π} & 37 \\ 30 + \frac{12}{π} & 37 \\ 54 + \frac{12}{π} & 37 \\ 78 + \frac{12}{π} & 37 \\ 102 + \frac{12}{π} & 37 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $13$

Periode: $24$

Phasenverschiebung: $\frac{12}{π}$ ( $\frac{12}{π}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $50$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 6 + \frac{12}{π} & 37 \\ 30 + \frac{12}{π} & 37 \\ 54 + \frac{12}{π} & 37 \\ 78 + \frac{12}{π} & 37 \\ 102 + \frac{12}{π} & 37 \end{array}$

Schritt 8