Algebravorstufe Beispiele

$y = - 2 \sec (\frac{π}{2} x + π) + 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ auftritt.

$\frac{π x}{2} + π = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π$

Schritt 1.2.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = - \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- π - 2 π}{2}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $- π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{- 3 π}{2}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{π x}{2} = - \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$π x = - 3 π$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = - 3 π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - 3 π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- 3 π}{π}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3 π}{π}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$x = - 3$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $\frac{π x}{2} + π$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} + π = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $π$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π$

Schritt 1.4.1.2

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π - 2 π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $2 π$ von $3 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$π x = π$

Schritt 1.4.3

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = π$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 1.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{π}$

Schritt 1.4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ tritt auf bei $(- 3, 1)$ , wobei $- 3$ und $1$ vertikale Asymptoten sind.

$(- 3, 1)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.6.3.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \sec (\frac{π x}{2} + π) + 2$ treten auf bei $- 3$ , $1$ und jedem $x = - 3 + 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - 3 + 2 n$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 + 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 + 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 2$

$b = \frac{π}{2}$

$c = - π$

$d = 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $- 2 \sec (\frac{π x}{2} + π)$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{2}{π}$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Schritt 4.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 2$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$4$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- π \frac{2}{π}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

Phasenverschiebung: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $π \cdot (- 1 \frac{2}{π})$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $- 1 \cdot 2$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

Phasenverschiebung: $- 2$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: $- 2$ ( $2$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3 + 2 n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $4$

Phasenverschiebung: $- 2$ ( $2$ nach links)

Vertikale Verschiebung: $2$

Schritt 8