Algebravorstufe Beispiele

$\frac{4}{p^{2} + 7 p - 18} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Schritt 1

Faktorisiere $p^{2} + 7 p - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $7$ ist.

$- 2, 9$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{6}{p + 9} - \frac{4}{p - 2}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{6}{p + 9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{4}{p - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6}{p + 9} \cdot \frac{p - 2}{p - 2} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(p + 9) (p - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{p + 9}$ mit $\frac{p - 2}{p - 2}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4}{p - 2} \cdot \frac{p + 9}{p + 9}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{p - 2}$ mit $\frac{p + 9}{p + 9}$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p - 2) (p + 9)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(p - 2) (p + 9)$ um.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2)}{(p + 9) (p - 2)} - \frac{4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{6 (p - 2) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (p - 2) - 4 (p + 9)$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 (p - 2)$ heraus.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) - 4 (p + 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 (p + 9)$ heraus.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 (p - 2)) + 2 (- 2 (p + 9))$ heraus.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 (p - 2) - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p + 3 \cdot - 2 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 (p + 9))}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 2 \cdot 9)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (3 p - 6 - 2 p - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.6

Subtrahiere $2 p$ von $3 p$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 6 - 18)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $18$ von $- 6$ .

$\frac{4}{(p - 2) (p + 9)} = \frac{2 (p - 24)}{(p + 9) (p - 2)}$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$p \approx 26$

Schritt 4