Algebravorstufe Beispiele

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 36} - \frac{r}{6 - r}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{30 - 17 r}{r^{2} - 6^{2}} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = r$ und $b = 6$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{6 - r} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - r} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- r$ heraus.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6) - (r)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (r)$ heraus.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (- 6 + r)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.3

Um $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.4

Um $- \frac{r}{- 1 (r - 6)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{30 - 17 r}{(r + 6) (r - 6)}$ mit $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r}{- 1 (r - 6)} \cdot \frac{r + 6}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $\frac{r}{- 1 (r - 6)}$ mit $\frac{r + 6}{r + 6}$ .

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{(r + 6) (r - 6) \cdot - 1} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren von $(r + 6) (r - 6) \cdot - 1$ um.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- 1 (r - 6) (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.5.4

Stelle die Faktoren von $- 1 (r - 6) (r + 6)$ um.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1}{- (r + 6) (r - 6)} - \frac{r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(30 - 17 r) \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{30 \cdot - 1 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.2

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$\frac{- 30 - 17 r \cdot - 1 - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 17$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r (r + 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 30 + 17 r - r \cdot r - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.5

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.5.1

Bewege $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - (r \cdot r) - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.5.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - r \cdot 6}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 30 + 17 r - r^{2} - 6 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.7

Subtrahiere $6 r$ von $17 r$ .

$\frac{- 30 - r^{2} + 11 r}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.8

Stelle die Terme um.

$\frac{- r^{2} + 11 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.7.9.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 30 = 30$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 1.7.9.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 r$ heraus.

$\frac{- r^{2} + 11 (r) - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9.1.2

Schreibe $11$ um als $5$ plus $6$

$\frac{- r^{2} + (5 + 6) r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- r^{2} + 5 r + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.7.9.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- r^{2} + 5 r) + 6 r - 30}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{r (- r + 5) - 6 (- r + 5)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.7.9.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- r + 5$ .

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r - 6$ .

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Schritt 1.8.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(- r + 5) (r - 6)}{- (r + 6) (r - 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- r + 5}{- (r + 6)} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- r + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- r$ heraus.

$- \frac{- (r) + 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.4

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- \frac{- (r) - 1 (- 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (r) - 1 (- 5)$ heraus.

$- \frac{- (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.6.1

Schreibe $- (r - 5)$ als $- 1 (r - 5)$ um.

$- \frac{- 1 (r - 5)}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 1.8.6.4

Mutltipliziere $\frac{r - 5}{r + 6}$ mit $1$ .

$\frac{r - 5}{r + 6} = \frac{11}{r + 6}$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$r \approx 16$

Schritt 3