Algebravorstufe Beispiele

$- \frac{1}{2} \cdot (32 x^{2}) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2} \cdot (32 x^{2}) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $32 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 (16 x^{2})) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 (16 x^{2})) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot (16 x^{2}) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 16 x^{2} + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 16 x^{2} + 1000 x + 50$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$- 2 (8 x^{2}) + 1000 x + 50 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2$ aus $1000 x$ heraus.

$- 2 (8 x^{2}) - 2 (- 500 x) + 50 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2$ aus $50$ heraus.

$- 2 (8 x^{2}) - 2 (- 500 x) - 2 \cdot - 25 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (8 x^{2}) - 2 (- 500 x)$ heraus.

$- 2 (8 x^{2} - 500 x) - 2 \cdot - 25 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (8 x^{2} - 500 x) - 2 (- 25)$ heraus.

$- 2 (8 x^{2} - 500 x - 25) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (8 x^{2} - 500 x - 25) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (8 x^{2} - 500 x - 25) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (8 x^{2} - 500 x - 25)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (8 x^{2} - 500 x - 25)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $8 x^{2} - 500 x - 25$ durch $1$ .

$8 x^{2} - 500 x - 25 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$8 x^{2} - 500 x - 25 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 500$ und $c = - 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{500 \pm \sqrt{{(- 500)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 25)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 500$ mit $2$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 25$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 32 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 25$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 + 800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.3

Addiere $250000$ und $800$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $250800$ als $20^{2} \cdot 627$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $250800$ heraus.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{400 (627)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$ .

$x = \frac{125 \pm 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 500$ mit $2$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 25$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 32 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 25$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 + 800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.3

Addiere $250000$ und $800$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $250800$ als $20^{2} \cdot 627$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $250800$ heraus.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{400 (627)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$ .

$x = \frac{125 \pm 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{125 + 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 500$ mit $2$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot - 25$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 - 32 \cdot - 25}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 25$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250000 + 800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.3

Addiere $250000$ und $800$ .

$x = \frac{500 \pm \sqrt{250800}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $250800$ als $20^{2} \cdot 627$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $400$ aus $250800$ heraus.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{400 (627)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{500 \pm \sqrt{20^{2} \cdot 627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{2 \cdot 8}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{500 \pm 20 \sqrt{627}}{16}$ .

$x = \frac{125 \pm 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{125 - 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{125 + 5 \sqrt{627}}{4}, \frac{125 - 5 \sqrt{627}}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{125 + 5 \sqrt{627}}{4}, \frac{125 - 5 \sqrt{627}}{4}$

Dezimalform:

$x = 62.54996006 \dots, - 0.04996006 \dots$