Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{16} x^{2} + \frac{1}{18} x = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{1}{18} x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{18}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{18} = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{x}{18} - \frac{1}{2} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $144$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 (\frac{x^{2}}{16}) + 144 (\frac{x}{18}) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $16$ aus $144$ heraus.

$16 (9) (\frac{x^{2}}{16}) + 144 (\frac{x}{18}) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cdot (9 (\frac{x^{2}}{16})) + 144 (\frac{x}{18}) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 144 (\frac{x}{18}) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $18$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $18$ aus $144$ heraus.

$9 x^{2} + 18 (8) (\frac{x}{18}) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 18 \cdot (8 (\frac{x}{18})) + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 8 x + 144 (- \frac{1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$9 x^{2} + 8 x + 144 (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $144$ heraus.

$9 x^{2} + 8 x + 2 (72) (\frac{- 1}{2}) = 0$

Schritt 3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 8 x + 2 \cdot (72 (\frac{- 1}{2})) = 0$

Schritt 3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 8 x + 72 \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $72$ mit $- 1$ .

$9 x^{2} + 8 x - 72 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 8$ und $c = - 72$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 72)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 72$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 72$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 2592}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.3

Addiere $64$ und $2592$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2656}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $2656$ als $4^{2} \cdot 166$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $2656$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (166)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 72$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 72$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 2592}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.3

Addiere $64$ und $2592$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2656}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $2656$ als $4^{2} \cdot 166$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $2656$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (166)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 4 + 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{166}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 \sqrt{166})}{9}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (- 2 \sqrt{166})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{166})}{9}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 - 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 72$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot - 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 72$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 2592}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.3

Addiere $64$ und $2592$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2656}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $2656$ als $4^{2} \cdot 166$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $2656$ heraus.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (166)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{166}}{18}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 4 - 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 8.5

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{166}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 \sqrt{166})}{9}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (2 \sqrt{166})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (4 + 2 \sqrt{166})}{9}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4 + 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{4 - 2 \sqrt{166}}{9}, - \frac{4 + 2 \sqrt{166}}{9}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{4 - 2 \sqrt{166}}{9}, - \frac{4 + 2 \sqrt{166}}{9}$

Dezimalform:

$x = 2.41868860 \dots, - 3.30757749 \dots$