Algebravorstufe Beispiele

$\frac{z^{2}}{4} = \frac{z}{5} + \frac{9}{20}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z^{2}}{4} \cdot 4 = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$z^{2} = (\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache $(\frac{z}{5} + \frac{9}{20}) \cdot 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z^{2} = \frac{z}{5} \cdot 4 + \frac{9}{20} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Kombiniere $\frac{z}{5}$ und $4$ .

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{20} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 (5)} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{4 \cdot 5} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$z^{2} = \frac{z \cdot 4}{5} + \frac{9}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $z$ .

$z^{2} = \frac{4 z}{5} + \frac{9}{5}$

Schritt 3

Löse nach $z$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Subtrahiere $\frac{4 z}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} - \frac{4 z}{5} = \frac{9}{5}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{9}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z^{2} - \frac{4 z}{5} - \frac{9}{5} = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $5$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 z^{2} + 5 (- \frac{4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 z}{5}$ in den Zähler.

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 z^{2} + 5 (\frac{- 4 z}{5}) + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (- \frac{9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9}{5}$ in den Zähler.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 z^{2} - 4 z + 5 (\frac{- 9}{5}) = 0$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 z^{2} - 4 z - 9 = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 4$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 9)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.1.3

Addiere $16$ und $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.1.3

Addiere $16$ und $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.1.4

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Schritt 3.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$z = \frac{2 + 7}{5}$

Schritt 3.7.5

Addiere $2$ und $7$ .

$z = \frac{9}{5}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20 \cdot - 9}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 9$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.1.3

Addiere $16$ und $180$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.1.4

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$z = \frac{4 \pm 14}{10}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 14}{10}$ .

$z = \frac{2 \pm 7}{5}$

Schritt 3.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$z = \frac{2 - 7}{5}$

Schritt 3.8.5

Subtrahiere $7$ von $2$ .

$z = \frac{- 5}{5}$

Schritt 3.8.6

Dividiere $- 5$ durch $5$ .

$z = - 1$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{9}{5}, - 1$