Algebravorstufe Beispiele

${(3 x - 14)}^{2} = 16 x^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(3 x - 14)}^{2} - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(3 x - 14)}^{2}$ als $(3 x - 14) (3 x - 14)$ um.

$(3 x - 14) (3 x - 14) - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(3 x - 14) (3 x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (3 x - 14) - 14 (3 x - 14) - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (3 x) + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x - 14) - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x (3 x) + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 3 x \cdot - 14 - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $3$ .

$9 x^{2} - 42 x - 14 (3 x) - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$9 x^{2} - 42 x - 42 x - 14 \cdot - 14 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$9 x^{2} - 42 x - 42 x + 196 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $42 x$ von $- 42 x$ .

$9 x^{2} - 84 x + 196 - 16 x^{2} = 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$- 7 x^{2} - 84 x + 196 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x^{2} - 84 x + 196$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$- 7 x^{2} - 84 x + 196 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 7$ aus $- 84 x$ heraus.

$- 7 x^{2} - 7 (12 x) + 196 = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $- 7$ aus $196$ heraus.

$- 7 x^{2} - 7 (12 x) - 7 \cdot - 28 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 (x^{2}) - 7 (12 x)$ heraus.

$- 7 (x^{2} + 12 x) - 7 \cdot - 28 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 (x^{2} + 12 x) - 7 (- 28)$ heraus.

$- 7 (x^{2} + 12 x - 28) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 12 x - 28$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 28$ und deren Summe $12$ ist.

$- 2, 14$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 7 ((x - 2) (x + 14)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 7 (x - 2) (x + 14) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 14 = 0$

Schritt 4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze $x + 14$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 14$ gleich $0$ .

$x + 14 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 14$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 7 (x - 2) (x + 14) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 14$