Algebravorstufe Beispiele

${(y + 4)}^{2} = 2 y^{2} + 16 + 28$

Schritt 1

Addiere $16$ und $28$ .

${(y + 4)}^{2} = 2 y^{2} + 44$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y + 4)}^{2} - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(y + 4)}^{2}$ als $(y + 4) (y + 4)$ um.

$(y + 4) (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(y + 4) (y + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y (y + 4) + 4 (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 4 + 4 (y + 4) - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + y \cdot 4 + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} + 4 \cdot y + 4 y + 4 \cdot 4 - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y^{2} + 4 y + 4 y + 16 - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $4 y$ und $4 y$ .

$y^{2} + 8 y + 16 - 2 y^{2} = 44$

Schritt 2.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$- y^{2} + 8 y + 16 = 44$

Schritt 3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $44$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 8 y + 16 - 44 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $44$ von $16$ .

$- y^{2} + 8 y - 28 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 8$ und $c = - 28$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 28)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $112$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $112$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 4 + 2 i \sqrt{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 28$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 4 \cdot - 28}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 28$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 112}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $112$ von $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 48$ als $- 1 (48)$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (48)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $48$ als $4^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $48$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$y = 4 \pm 2 i \sqrt{3}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 4 - 2 i \sqrt{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 4 + 2 i \sqrt{3}, 4 - 2 i \sqrt{3}$