Algebravorstufe Beispiele

${(x - 8)}^{2} + {(x - 1)}^{2} = x$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 8)}^{2} + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Schreibe ${(x - 8)}^{2}$ als $(x - 8) (x - 8)$ um.

$(x - 8) (x - 8) + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $(x - 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 8) - 8 (x - 8) + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8) + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8 + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8 + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8 + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$x^{2} - 8 x - 8 x + 64 + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + {(x - 1)}^{2} - x = 0$

Schritt 1.2.4

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x - 1) (x - 1) - x = 0$

Schritt 1.2.5

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (x - 1) - 1 (x - 1) - x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 16 x + 64 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - x = 0$

Schritt 1.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 16 x + 64 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} - x - x + 1 - x = 0$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + x^{2} - 2 x + 1 - x = 0$

Schritt 1.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - 16 x + 64 - 2 x + 1 - x = 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $2 x$ von $- 16 x$ .

$2 x^{2} - 18 x + 64 + 1 - x = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $x$ von $- 18 x$ .

$2 x^{2} - 19 x + 64 + 1 = 0$

Schritt 1.6

Addiere $64$ und $1$ .

$2 x^{2} - 19 x + 65 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 19$ und $c = 65$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 65)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 2 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 65$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 8 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $65$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 520}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $520$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 159$ als $- 1 (159)$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (159)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{4}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 2 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 65$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 8 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $65$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 520}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $520$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 159$ als $- 1 (159)$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (159)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{4}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{19 + i \sqrt{159}}{4}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 19$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 2 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 65$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 8 \cdot 65}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $65$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 520}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $520$ von $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 159$ als $- 1 (159)$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1 \cdot 159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (159)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}$ um.

$x = \frac{19 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{19 \pm i \sqrt{159}}{4}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{19 - i \sqrt{159}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{19 + i \sqrt{159}}{4}, \frac{19 - i \sqrt{159}}{4}$