Algebravorstufe Beispiele

${(2 x - 5)}^{2} - 8 (2 x - 5) + 15 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Es sei $u = 2 x - 5$ . Ersetze $u$ für alle $2 x - 5$ .

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 8 u + 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $15$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 5, - 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 5) (u - 3) = 0$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$(2 x - 5 - 5) (2 x - 5 - 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 5 - 5 = 0$

$2 x - 5 - 3 = 0$

Schritt 3

Setze $2 x - 5 - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x - 5 - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x - 5 - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$2 x - 10 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 10$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 10$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 10$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{10}{2}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 5$

Schritt 4

Setze $2 x - 5 - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x - 5 - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 5 - 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x - 5 - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$2 x - 8 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 8$

Schritt 4.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 8$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$

Schritt 4.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.3.1

Dividiere $8$ durch $2$ .

$x = 4$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 5 - 5) (2 x - 5 - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 4$