Algebravorstufe Beispiele

${(2 m + 14)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $3 m$ an.

${(2 m + 14)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

${(2 m + 14)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache ${(5 m)}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $5 m$ an.

${(2 m + 14)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Schritt 2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

${(2 m + 14)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $m$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $25 m^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(2 m + 14)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(2 m + 14)}^{2}$ als $(2 m + 14) (2 m + 14)$ um.

$(2 m + 14) (2 m + 14) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(2 m + 14) (2 m + 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m + 14) + 14 (2 m + 14) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m + 14) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.2

Multipliziere $m$ mit $m$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Bewege $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $m$ mit $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 14 + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.4

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$4 m^{2} + 28 m + 14 (2 m) + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$4 m^{2} + 28 m + 28 m + 14 \cdot 14 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.1.6

Mutltipliziere $14$ mit $14$ .

$4 m^{2} + 28 m + 28 m + 196 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $28 m$ und $28 m$ .

$4 m^{2} + 56 m + 196 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.3

Addiere $4 m^{2}$ und $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 56 m + 196 - 25 m^{2} = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $25 m^{2}$ von $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 56 m + 196 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12 m^{2} + 56 m + 196$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 12 m^{2}$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) + 56 m + 196 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 4$ aus $56 m$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 14 m) + 196 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 4$ aus $196$ heraus.

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 14 m) - 4 \cdot - 49 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 14 m)$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 14 m) - 4 \cdot - 49 = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (3 m^{2} - 14 m) - 4 (- 49)$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 14 m - 49) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 49 = - 147$ und deren Summe gleich $b = - 14$ ist.

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Schritt 4.2.1.1.1

Faktorisiere $- 14$ aus $- 14 m$ heraus.

$- 4 (3 m^{2} - 14 m - 49) = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Schreibe $- 14$ um als $7$ plus $- 21$

$- 4 (3 m^{2} + (7 - 21) m - 49) = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 (3 m^{2} + 7 m - 21 m - 49) = 0$

Schritt 4.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 4 ((3 m^{2} + 7 m) - 21 m - 49) = 0$

Schritt 4.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 4 (m (3 m + 7) - 7 (3 m + 7)) = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 m + 7$ .

$- 4 ((3 m + 7) (m - 7)) = 0$

Schritt 4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 (3 m + 7) (m - 7) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 m + 7 = 0$

$m - 7 = 0$

Schritt 6

Setze $3 m + 7$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $3 m + 7$ gleich $0$ .

$3 m + 7 = 0$

Schritt 6.2

Löse $3 m + 7 = 0$ nach $m$ auf.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 m = - 7$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 m = - 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 m = - 7$ durch $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{- 7}{3}$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$m = - \frac{7}{3}$

Schritt 7

Setze $m - 7$ gleich $0$ und löse nach $m$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $m - 7$ gleich $0$ .

$m - 7 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$m = 7$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 (3 m + 7) (m - 7) = 0$ wahr machen.

$m = - \frac{7}{3}, 7$