Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} = - 1$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{6} - \frac{x}{3} + 1 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $6$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{x}{3}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 (\frac{x^{2}}{6}) + 6 (- \frac{x}{3}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 6 (- \frac{x}{3}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$x^{2} + 6 (\frac{- x}{3}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x^{2} + 3 (2) (\frac{- x}{3}) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 3 \cdot (2 (\frac{- x}{3})) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 (- x) + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} - 2 x + 6 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x + 6 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $24$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $24$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{5}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $24$ von $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{5}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + i \sqrt{5}, 1 - i \sqrt{5}$