Algebravorstufe Beispiele

${(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2} = {(\frac{3 (\sqrt{2})}{4})}^{2} + x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{3 \sqrt{2}}{4})}^{2} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$ um.

${(\frac{3 \sqrt{2}}{4})}^{2} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ an.

$\frac{{(3 \sqrt{2})}^{2}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{2}$ an.

$\frac{3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 {\sqrt{2}}^{2}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 \cdot 2^{1}}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 \cdot 2}{4^{2}} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{9 \cdot 2}{16} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{18}{16} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $16$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 (9)}{16} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 8} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 8} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{8} + x^{2} = {(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache ${(\frac{\sqrt{5}}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{2}$ an.

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5^{1}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5}{2^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9}{8} + x^{2} = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{9}{8}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = \frac{5}{4} - \frac{9}{8}$

Schritt 4.2

Um $\frac{5}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{8}$

Schritt 4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{9}{8}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x^{2} = \frac{5 \cdot 2}{8} - \frac{9}{8}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} = \frac{5 \cdot 2 - 9}{8}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x^{2} = \frac{10 - 9}{8}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$x^{2} = \frac{1}{8}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{8}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{8}}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{8}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}$

Schritt 6.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{8}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4 (2)}}$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 6.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 6.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 6.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Schritt 6.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{2}}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$x = 0.35355339 \dots, - 0.35355339 \dots$