Algebravorstufe Beispiele

$- (5 z (10 z + 2)) = 2 + (4 z + 3)$

Schritt 1

Vereinfache $- 1 \cdot (5 z (10 z + 2))$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 - 1 \cdot (5 z (10 z + 2)) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot (5 z (10 z) + 5 z \cdot 2) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot (5 \cdot 10 z \cdot z + 5 z \cdot 2) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 1 \cdot (5 \cdot 10 z \cdot z + 10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $z$ mit $z$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Bewege $z$ .

$- 1 \cdot (5 \cdot 10 (z \cdot z) + 10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$- 1 \cdot (5 \cdot 10 z^{2} + 10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $10$ .

$- 1 \cdot (50 z^{2} + 10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.4

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 (50 z^{2}) - 1 (10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.4.2

Multipliziere.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $50$ mit $- 1$ .

$- 50 z^{2} - 1 (10 z) = 2 + 4 z + 3$

Schritt 1.4.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 50 z^{2} - 10 z = 2 + 4 z + 3$

Schritt 2

Addiere $2$ und $3$ .

$- 50 z^{2} - 10 z = 4 z + 5$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $z$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 50 z^{2} - 10 z - 4 z = 5$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 z$ von $- 10 z$ .

$- 50 z^{2} - 14 z = 5$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 50 z^{2} - 14 z - 5 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = - 50$ , $b = - 14$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 50 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 50 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 50 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 200 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $200$ mit $- 5$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 1000}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $1000$ von $196$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 804$ als $- 1 (804)$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (804)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $804$ als $2^{2} \cdot 201$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $804$ heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{4 (201)}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot (2 \sqrt{201})}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$ .

$z = \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{- 50}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{50}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 50 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 50 \cdot - 5$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 200 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $200$ mit $- 5$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 1000}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $1000$ von $196$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 804$ als $- 1 (804)$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (804)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $804$ als $2^{2} \cdot 201$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $804$ heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{4 (201)}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot (2 \sqrt{201})}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$ .

$z = \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{- 50}$

Schritt 8.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{50}$

Schritt 8.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$z = - \frac{7 + i \sqrt{201}}{50}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 50 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 50 \cdot - 5$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 200 \cdot - 5}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $200$ mit $- 5$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 1000}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $1000$ von $196$ .

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 804$ als $- 1 (804)$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1 \cdot 804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (804)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}$ um.

$z = \frac{14 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{804}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $804$ als $2^{2} \cdot 201$ um.

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Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $804$ heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{4 (201)}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \frac{14 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$z = \frac{14 \pm i \cdot (2 \sqrt{201})}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{2 \cdot - 50}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 50$ .

$z = \frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 i \sqrt{201}}{- 100}$ .

$z = \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{- 50}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{7 \pm i \sqrt{201}}{50}$

Schritt 9.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$z = - \frac{7 - i \sqrt{201}}{50}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = - \frac{7 + i \sqrt{201}}{50}, - \frac{7 - i \sqrt{201}}{50}$