Algebravorstufe Beispiele

${(2 x - 4)}^{2} - {(4 x - 6)}^{2} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x - 4$ und $b = 4 x - 6$ .

$(2 x - 4 + 4 x - 6) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$(6 x - 4 - 6) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $6$ von $- 4$ .

$(6 x - 10) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $6 x - 10$ heraus.

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$(2 (3 x) - 10) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$(2 (3 x) + 2 (- 5)) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 5)$ heraus.

$2 (3 x - 5) (2 x - 4 - (4 x - 6)) = 0$

Schritt 1.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x - 5) (2 x - 4 - (4 x) + 6) = 0$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 (3 x - 5) (2 x - 4 - 4 x + 6) = 0$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$2 (3 x - 5) (2 x - 4 - 4 x + 6) = 0$

Schritt 1.2.7

Subtrahiere $4 x$ von $2 x$ .

$2 (3 x - 5) (- 2 x - 4 + 6) = 0$

Schritt 1.2.8

Addiere $- 4$ und $6$ .

$2 (3 x - 5) (- 2 x + 2) = 0$

Schritt 1.2.9

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.2.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (3 x - 5) (2 (- x) + 2) = 0$

Schritt 1.2.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (3 x - 5) (2 (- x) + 2 (1)) = 0$

Schritt 1.2.9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (1)$ heraus.

$2 (3 x - 5) (2 (- x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (3 x - 5) \cdot (2 (- x + 1)) = 0$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (3 x - 5) (- x + 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$- x + 1 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 4

Setze $- x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $- x + 1$ gleich $0$ .

$- x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $- x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (3 x - 5) (- x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{5}{3}, 1$