Algebravorstufe Beispiele

${(4 x + 2)}^{2} + {23.3}^{2} = x^{2}$

Schritt 1

Potenziere $23.3$ mit $2$ .

${(4 x + 2)}^{2} + 542.89 = x^{2}$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(4 x + 2)}^{2} + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(4 x + 2)}^{2}$ als $(4 x + 2) (4 x + 2)$ um.

$(4 x + 2) (4 x + 2) + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(4 x + 2) (4 x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x + 2) + 2 (4 x + 2) + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x + 2) + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{2} + 4 x \cdot 2 + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$16 x^{2} + 8 x + 2 (4 x) + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$16 x^{2} + 8 x + 8 x + 2 \cdot 2 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$16 x^{2} + 16 x + 4 + 542.89 - x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 16 x + 4 + 542.89 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $4$ und $542.89$ .

$15 x^{2} + 16 x + 546.89 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 15$ , $b = 16$ und $c = 546.89$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 546.89)}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 15 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 546.89$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $546.89$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32813.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $32813.4$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 32557.4$ als $- 1 (32557.4)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (32557.4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 15 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 546.89$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $546.89$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32813.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $32813.4$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 32557.4$ als $- 1 (32557.4)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (32557.4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 16 + i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{32557.4}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (- i \sqrt{32557.4})}{30}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - (- i \sqrt{32557.4})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 - i \sqrt{32557.4})}{30}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 - i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $16$ mit $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 15 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 15 \cdot 546.89$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60 \cdot 546.89}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $546.89$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 32813.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $32813.4$ von $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 32557.4$ als $- 1 (32557.4)$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (32557.4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}$ um.

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{2 \cdot 15}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{- 16 \pm i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 16 - i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{32557.4}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (i \sqrt{32557.4})}{30}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - (i \sqrt{32557.4})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 + i \sqrt{32557.4})}{30}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 + i \sqrt{32557.4}}{30}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{16 - i \sqrt{32557.4}}{30}, - \frac{16 + i \sqrt{32557.4}}{30}$