Algebravorstufe Beispiele

$(3 x + 5) (x - 5) = - 2 x (6 x + 5) + x - 19$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 x (6 x + 5) + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2

Vereinfache $- 2 x (6 x + 5) + x - 19$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (6 x) - 2 x \cdot 5 + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 \cdot 6 x \cdot x - 2 x \cdot 5 + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 2 \cdot 6 x \cdot x - 10 x + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$- 2 \cdot 6 (x \cdot x) - 10 x + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 2 \cdot 6 x^{2} - 10 x + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$- 12 x^{2} - 10 x + x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 2.2

Addiere $- 10 x$ und $x$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = (3 x + 5) (x - 5)$

Schritt 3

Vereinfache $(3 x + 5) (x - 5)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere $(3 x + 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x (x - 5) + 5 (x - 5)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 5 (x - 5)$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$

Schritt 3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x^{2} - 15 x + 5 x + 5 \cdot - 5$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 5$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x^{2} - 15 x + 5 x - 25$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 15 x$ und $5 x$ .

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 = 3 x^{2} - 10 x - 25$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 - 3 x^{2} = - 10 x - 25$

Schritt 4.2

Addiere $10 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} - 9 x - 19 - 3 x^{2} + 10 x = - 25$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 12 x^{2}$ .

$- 15 x^{2} - 9 x - 19 + 10 x = - 25$

Schritt 4.4

Addiere $- 9 x$ und $10 x$ .

$- 15 x^{2} + x - 19 = - 25$

Schritt 5

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 x^{2} + x - 19 + 25 = 0$

Schritt 6

Addiere $- 19$ und $25$ .

$- 15 x^{2} + x + 6 = 0$

Schritt 7

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 x^{2} + x + 6$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 15 x^{2}$ heraus.

$- (15 x^{2}) + x + 6 = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (15 x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Schritt 7.1.3

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$- (15 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 7.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (15 x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Schritt 7.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (15 x^{2} - x) - 1 (- 6)$ heraus.

$- (15 x^{2} - x - 6) = 0$

Schritt 7.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 15 \cdot - 6 = - 90$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 7.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (15 x^{2} - (x) - 6) = 0$

Schritt 7.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $9$ plus $- 10$

$- (15 x^{2} + (9 - 10) x - 6) = 0$

Schritt 7.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (15 x^{2} + 9 x - 10 x - 6) = 0$

Schritt 7.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((15 x^{2} + 9 x) - 10 x - 6) = 0$

Schritt 7.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (3 x (5 x + 3) - 2 (5 x + 3)) = 0$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 3$ .

$- ((5 x + 3) (3 x - 2)) = 0$

Schritt 7.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (5 x + 3) (3 x - 2) = 0$

Schritt 8

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x + 3 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 9

Setze $5 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $5 x + 3$ gleich $0$ .

$5 x + 3 = 0$

Schritt 9.2

Löse $5 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 3$

Schritt 9.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 9.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 3}{5}$

Schritt 9.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{5}$

Schritt 9.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{5}$

Schritt 10

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 10.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (5 x + 3) (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{3}{5}, \frac{2}{3}$