Algebravorstufe Beispiele

$(3 x + 15) (4 x) = 180$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$(3 x + 15) \cdot 4 x = 180$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $(3 x + 15) \cdot (4 x) = 180$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $(3 x + 15) \cdot (4 x) = 180$ durch $4$ .

$\frac{(3 x + 15) \cdot (4 x)}{4} = \frac{180}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x + 15) \cdot (4 x)}{4} = \frac{180}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $(3 x + 15) \cdot (x)$ durch $1$ .

$(3 x + 15) \cdot (x) = \frac{180}{4}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 15 x = \frac{180}{4}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + 15 x = \frac{180}{4}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 15 x = \frac{180}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $180$ durch $4$ .

$3 x^{2} + 15 x = 45$

Schritt 3

Subtrahiere $45$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 15 x - 45 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 15 x - 45$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) + 15 x - 45 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $3$ aus $15 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (5 x) - 45 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $3$ aus $- 45$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (5 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (5 x)$ heraus.

$3 (x^{2} + 5 x) + 3 \cdot - 15 = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} + 5 x) + 3 \cdot - 15$ heraus.

$3 (x^{2} + 5 x - 15) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} + 5 x - 15) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} + 5 x - 15) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} + 5 x - 15)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} + 5 x - 15)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 5 x - 15$ durch $1$ .

$x^{2} + 5 x - 15 = \frac{0}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} + 5 x - 15 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $25$ und $60$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $25$ und $60$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 9.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 9.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{85}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{85})}{2}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{85})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{85})}{2}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Addiere $25$ und $60$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{85}}{2}$

Schritt 10.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 10.4

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{85}}{2}$

Schritt 10.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{85}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{85})}{2}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5) - (\sqrt{85})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{85})}{2}$

Schritt 10.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{85}}{2}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 - \sqrt{85}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{85}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.10977222 \dots, - 7.10977222 \dots$