Algebravorstufe Beispiele

$(2 w + 3) w = 77$

Schritt 1

Vereinfache $(2 w + 3) w$ .

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 w \cdot w + 3 w = 77$

Schritt 1.2

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $w$ .

$2 (w \cdot w) + 3 w = 77$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$2 w^{2} + 3 w = 77$

Schritt 2

Subtrahiere $77$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 w^{2} + 3 w - 77 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 77 = - 154$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 w$ heraus.

$2 w^{2} + 3 (w) - 77 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $3$ um als $- 11$ plus $14$

$2 w^{2} + (- 11 + 14) w - 77 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 w^{2} - 11 w + 14 w - 77 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 w^{2} - 11 w) + 14 w - 77 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$w (2 w - 11) + 7 (2 w - 11) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 w - 11$ .

$(2 w - 11) (w + 7) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 w - 11 = 0$

$w + 7 = 0$

Schritt 5

Setze $2 w - 11$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 w - 11$ gleich $0$ .

$2 w - 11 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 w - 11 = 0$ nach $w$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 w = 11$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 w = 11$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 w = 11$ durch $2$ .

$\frac{2 w}{2} = \frac{11}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 w}{2} = \frac{11}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{11}{2}$

Schritt 6

Setze $w + 7$ gleich $0$ und löse nach $w$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $w + 7$ gleich $0$ .

$w + 7 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$w = - 7$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 w - 11) (w + 7) = 0$ wahr machen.

$w = \frac{11}{2}, - 7$