Algebravorstufe Beispiele

$x = 4 y^{2} + 8 y - 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $4 y^{2} + 8 y - 3 = x$ um.

$4 y^{2} + 8 y - 3 = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} + 8 y - 3 - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 8$ und $c = - 3 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (- 3 - x))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 3 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6

Addiere $64$ und $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{112 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $16$ aus $112 + 16 x$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 \cdot 7 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $16 \cdot 7 + 16 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $16 (7 + x)$ als ${(2^{2})}^{2} (7 + x)$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2^{2} \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 3 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6

Addiere $64$ und $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{112 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $16$ aus $112 + 16 x$ heraus.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 \cdot 7 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $16 \cdot 7 + 16 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.8

Schreibe $16 (7 + x)$ als ${(2^{2})}^{2} (7 + x)$ um.

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Schritt 6.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2^{2} \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 2 + \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{7 + x}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7 + x})}{2}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7 + x})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7 + x})}{2}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 - \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 4 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot (- 3 - x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 16 \cdot - 3 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 3$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 - 16 (- x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 48 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6

Addiere $64$ und $48$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{112 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7

Faktorisiere $16$ aus $112 + 16 x$ heraus.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $112$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 \cdot 7 + 16 x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $16 \cdot 7 + 16 x$ heraus.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.8

Schreibe $16 (7 + x)$ als ${(2^{2})}^{2} (7 + x)$ um.

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Schritt 7.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (7 + x)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 8 \pm 2^{2} \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{7 + x}}{8}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 2 - \sqrt{7 + x}}{2}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 - \sqrt{7 + x}$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Stelle $7$ und $x$ um.

$y = \frac{- 2 - \sqrt{x + 7}}{2}$

Schritt 7.5.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{x + 7}}{2}$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x + 7}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{x + 7})}{2}$

Schritt 7.5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{x + 7})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (2 + \sqrt{x + 7})}{2}$

Schritt 7.5.5

Schreibe $- 1 (2 + \sqrt{x + 7})$ als $- (2 + \sqrt{x + 7})$ um.

$y = \frac{- (2 + \sqrt{x + 7})}{2}$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2 + \sqrt{x + 7}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{2 - \sqrt{7 + x}}{2}$

$y = - \frac{2 + \sqrt{x + 7}}{2}$

Schritt 9

Die gegebene Gleichung $y = - \frac{2 - \sqrt{7 + x}}{2}, - \frac{2 + \sqrt{x + 7}}{2}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$