Algebravorstufe Beispiele

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 3 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}$

Schritt 1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$- 3 = a (0) + b - 1 = a (1) + b 1 = a (2) + b 3 = a (3) + b 5 = a (4) + b$

Schritt 1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe die Gleichung als $b = - 3$ um.

$b = - 3$

$- 1 = a + b$

$1 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $b$ in $- 1 = a + b$ durch $- 3$ .

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$1 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$1 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$1 = a (2) + b$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $b$ in $1 = a (2) + b$ durch $- 3$ .

$1 = a (2) - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.4

Vereinfache $1 = a (2) - 3$ .

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Schritt 1.3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$1 = a (2) - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

$1 = a (2) - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.4.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = a (3) + b$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.5

Ersetze alle $b$ in $3 = a (3) + b$ durch $- 3$ .

$3 = a (3) - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.6

Vereinfache $3 = a (3) - 3$ .

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Schritt 1.3.2.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.6.1.1

Entferne die Klammern.

$3 = a (3) - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

$3 = a (3) - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.6.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a$ .

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) + b$

Schritt 1.3.2.7

Ersetze alle $b$ in $5 = a (4) + b$ durch $- 3$ .

$5 = a (4) - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.2.8

Vereinfache $5 = a (4) - 3$ .

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Schritt 1.3.2.8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.8.1.1

Entferne die Klammern.

$5 = a (4) - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = a (4) - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.2.8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.8.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$5 = 4 a - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = 4 a - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = 4 a - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$5 = 4 a - 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3

Löse in $5 = 4 a - 3$ nach $a$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 a - 3 = 5$ um.

$4 a - 3 = 5$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 a = 5 + 3$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $5$ und $3$ .

$4 a = 8$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$4 a = 8$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 8$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 a = 8$ durch $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{8}{4}$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a}{4} = \frac{8}{4}$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{8}{4}$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$a = \frac{8}{4}$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$a = \frac{8}{4}$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Dividiere $8$ durch $4$ .

$a = 2$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$a = 2$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$a = 2$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$a = 2$

$3 = 3 a - 3$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $a$ in $3 = 3 a - 3$ durch $2$ .

$3 = 3 (2) - 3$

$a = 2$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $3 (2) - 3$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 = 6 - 3$

$a = 2$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$3 = 3$

$a = 2$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = 3$

$a = 2$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$3 = 3$

$a = 2$

$1 = 2 a - 3$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.3

Ersetze alle $a$ in $1 = 2 a - 3$ durch $2$ .

$1 = 2 (2) - 3$

$3 = 3$

$a = 2$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.4.1

Vereinfache $2 (2) - 3$ .

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Schritt 1.3.4.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 = 4 - 3$

$3 = 3$

$a = 2$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.4.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$- 1 = a - 3$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.5

Ersetze alle $a$ in $- 1 = a - 3$ durch $2$ .

$- 1 = (2) - 3$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$b = - 3$

Schritt 1.3.4.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.6.1

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- 1 = - 1$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$b = - 3$

$- 1 = - 1$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$b = - 3$

$- 1 = - 1$

$1 = 1$

$3 = 3$

$a = 2$

$b = - 3$

Schritt 1.3.5

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$a = 2$

$b = - 3$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$a = 2, b = - 3$

Schritt 1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 2$ , $b = - 3$ und $x = 0$ .

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 3$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$y = - 3$

Schritt 1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 0$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 3$ und $y = - 3$ .

$- 3 = - 3$

Schritt 1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 2$ , $b = - 3$ und $x = 1$ .

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 2 - 3$

Schritt 1.4.3.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$y = - 1$

Schritt 1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 1$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 1$ und $y = - 1$ .

$- 1 = - 1$

Schritt 1.4.5

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 2$ , $b = - 3$ und $x = 2$ .

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Schritt 1.4.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 - 3$

Schritt 1.4.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$y = 1$

Schritt 1.4.6

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 2$ . Der Test wird bestanden, da $y = 1$ und $y = 1$ .

$1 = 1$

Schritt 1.4.7

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 2$ , $b = - 3$ und $x = 3$ .

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Schritt 1.4.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = 6 - 3$

Schritt 1.4.7.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$y = 3$

Schritt 1.4.8

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 3$ . Der Test wird bestanden, da $y = 3$ und $y = 3$ .

$3 = 3$

Schritt 1.4.9

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = 2$ , $b = - 3$ und $x = 4$ .

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Schritt 1.4.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = 8 - 3$

Schritt 1.4.9.2

Subtrahiere $3$ von $8$ .

$y = 5$

Schritt 1.4.10

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = 4$ . Der Test wird bestanden, da $y = 5$ und $y = 5$ .

$5 = 5$

Schritt 1.4.11

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = 2 x - 3$ .

$y = 2 x - 3$