Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 1

Schreibe die Funktion als Gleichung um.

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$y = \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1}$

Schritt 2.2

Um $\frac{x - 1}{x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) (x + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 1}$ mit $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{x - 1}{x + 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)} + \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + 1)$ um.

$y = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{(x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 1 + (x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x + 1 + x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x + 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$y = \frac{x + 1 + x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$y = \frac{- x + 1 + x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- x + x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 2.5.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{x^{2} - x + 2}{(x + 1) (x - 1)}$