Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{2} - 32$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $4$

Leitkoeffizient: $6$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{6 x^{4}}{6} + \frac{- 16 x^{2}}{6} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{4} + \frac{- 16 x^{2}}{6} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $6$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16 x^{2}$ heraus.

$f (x) = x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{6} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (x) = x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{2 (3)} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{4} + \frac{2 (- 8 x^{2})}{2 \cdot 3} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{3} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 32}{6}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $6$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{2 (- 16)}{6}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{4} - \frac{8 x^{2}}{3} - \frac{16}{3}$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{8}{3}, - \frac{16}{3}$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{8}{3} |, | - \frac{16}{3} |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - \frac{16}{3} |$

Schritt 4.3

$- \frac{16}{3}$ ist ungefähr $- 5.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{16}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{1} = \frac{16}{3} + 1$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{16}{3} + \frac{3}{3}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{16 + 3}{3}$

Schritt 4.6

Addiere $16$ und $3$ .

$b_{1} = \frac{19}{3}$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{8}{3}$ ist ungefähr $- 2.\overline{6}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{8}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{8}{3} + | - \frac{16}{3} |$

Schritt 5.1.2

$- \frac{16}{3}$ ist ungefähr $- 5.\overline{3}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{16}{3}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{8}{3} + \frac{16}{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{8 + 16}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.1

Addiere $8$ und $16$ .

$b_{2} = \frac{24}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $24$ durch $3$ .

$b_{2} = 8$

Schritt 5.3

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 8$

Schritt 5.4

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 8$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = \frac{19}{3}$ oder $b_{2} = 8$ .

Kleinere Schranke: $\frac{19}{3}$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 6 x^{4} - 16 x^{2} - 32$ liegt zwischen $- \frac{19}{3}$ und $\frac{19}{3}$ .

$- \frac{19}{3}$ und $\frac{19}{3}$