Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = 6 x^{3} - x^{2} - 294 x + 49$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $3$

Leitkoeffizient: $6$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{6 x^{3}}{6} + \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 294 x}{6} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} + \frac{- x^{2}}{6} + \frac{- 294 x}{6} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 294 x}{6} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 294$ und $6$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 294 x$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{6 (- 49 x)}{6} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{6 (- 49 x)}{6 (1)} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{6 (- 49 x)}{6 \cdot 1} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} + \frac{- 49 x}{1} + \frac{49}{6}$

Schritt 2.3.2.4

Dividiere $- 49 x$ durch $1$ .

$f (x) = x^{3} - \frac{x^{2}}{6} - 49 x + \frac{49}{6}$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{1}{6}, - 49, \frac{49}{6}$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{1}{6} |, | \frac{49}{6} |, | - 49 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - 49 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 49$ und $0$ ist $49$ .

$b_{1} = 49 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $49$ und $1$ .

$b_{1} = 50$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{1}{6}$ ist ungefähr $- 0.1\overline{6}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{6}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{1}{6} + | - 49 | + | \frac{49}{6} |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 49$ und $0$ ist $49$ .

$b_{2} = \frac{1}{6} + 49 + | \frac{49}{6} |$

Schritt 5.1.3

$\frac{49}{6}$ ist ungefähr $8.1\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{1}{6} + 49 + \frac{49}{6}$

Schritt 5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = 49 + \frac{1 + 49}{6}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $49$ .

$b_{2} = 49 + \frac{50}{6}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$b_{2} = 49 + \frac{2 (25)}{6}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$b_{2} = 49 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b_{2} = 49 + \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b_{2} = 49 + \frac{25}{3}$

Schritt 5.3

Um $49$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = 49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3}$

Schritt 5.4

Kombiniere $49$ und $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = \frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{25}{3}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{49 \cdot 3 + 25}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $49$ mit $3$ .

$b_{2} = \frac{147 + 25}{3}$

Schritt 5.6.2

Addiere $147$ und $25$ .

$b_{2} = \frac{172}{3}$

Schritt 5.7

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, \frac{172}{3}$

Schritt 5.8

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = \frac{172}{3}$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 50$ oder $b_{2} = \frac{172}{3}$ .

Kleinere Schranke: $50$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = 6 x^{3} - x^{2} - 294 x + 49$ liegt zwischen $- 50$ und $50$ .

$- 50$ und $50$