Algebravorstufe Beispiele

$p (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $4$

Leitkoeffizient: $6$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (x) = \frac{6 x^{4}}{6} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{24 x^{2}}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{24 x^{2}}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $6$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6 (1)} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{6 (4 x^{2})}{6 \cdot 1} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $4 x^{2}$ durch $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{24 x}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $6$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $24 x$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6 (1)} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{6 (4 x)}{6 \cdot 1} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + \frac{4 x}{1} + \frac{8}{6}$

Schritt 2.3.2.4

Dividiere $4 x$ durch $1$ .

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{8}{6}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $6$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 (4)}{6}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p (x) = x^{4} + \frac{19 x^{3}}{6} + 4 x^{2} + 4 x + \frac{4}{3}$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$\frac{19}{6}, 4, 4, \frac{4}{3}$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | \frac{4}{3} |, | \frac{19}{6} |, | 4 |, | 4 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | 4 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$b_{1} = 4 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $4$ und $1$ .

$b_{1} = 5$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$\frac{19}{6}$ ist ungefähr $3.1\overline{6}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{19}{6} + | 4 | + | 4 | + | \frac{4}{3} |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + | 4 | + | \frac{4}{3} |$

Schritt 5.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + 4 + | \frac{4}{3} |$

Schritt 5.1.4

$\frac{4}{3}$ ist ungefähr $1.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{19}{6} + 4 + 4 + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4}{1} + 4 + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4}{1} \cdot \frac{6}{6} + 4 + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + 4 + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.4

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{1} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{3}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.9

Stelle die Faktoren von $3 \cdot 2$ um.

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$b_{2} = \frac{19}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 6}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{19 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 2}{6}$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 4 \cdot 6 + 4 \cdot 2}{6}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 24 + 4 \cdot 2}{6}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$b_{2} = \frac{19 + 24 + 24 + 8}{6}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Addiere $19$ und $24$ .

$b_{2} = \frac{43 + 24 + 8}{6}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.5.2.1

Addiere $43$ und $24$ .

$b_{2} = \frac{67 + 8}{6}$

Schritt 5.5.2.2

Addiere $67$ und $8$ .

$b_{2} = \frac{75}{6}$

Schritt 5.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $75$ und $6$ .

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Schritt 5.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $75$ heraus.

$b_{2} = \frac{3 (25)}{6}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 25}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b_{2} = \frac{25}{2}$

Schritt 5.6

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, \frac{25}{2}$

Schritt 5.7

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = \frac{25}{2}$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 5$ oder $b_{2} = \frac{25}{2}$ .

Kleinere Schranke: $5$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $p (x) = 6 x^{4} + 19 x^{3} + 24 x^{2} + 24 x + 8$ liegt zwischen $- 5$ und $5$ .

$- 5$ und $5$