Algebravorstufe Beispiele

$h (x) = - 5 x (x^{2} - 36) (x - 3)$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $4$

Leitkoeffizient: $- 5$

Schritt 2

The leading coefficient needs to be $1$ . If it is not, divide the expression by it to make it $1$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h (x) = \frac{- 5 x (x^{2} - 36) (x - 3)}{- 5}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $(x (x^{2} - 36)) (x - 3)$ durch $1$ .

$h (x) = (x (x^{2} - 36)) (x - 3)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x) = (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36) (x - 3)$

Schritt 2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$h (x) = (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36) (x - 3)$

Schritt 2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h (x) = (x^{1 + 2} + x \cdot - 36) (x - 3)$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$h (x) = (x^{3} + x \cdot - 36) (x - 3)$

Schritt 2.4

Bringe $- 36$ auf die linke Seite von $x$ .

$h (x) = (x^{3} - 36 \cdot x) (x - 3)$

Schritt 2.5

Multipliziere $(x^{3} - 36 x) (x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x) = x^{3} (x - 3) - 36 x (x - 3)$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 3 - 36 x (x - 3)$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$h (x) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 3 - 36 x \cdot x - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$h (x) = x^{3} x + x^{3} \cdot - 3 - 36 x \cdot x - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$h (x) = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 3 - 36 x \cdot x - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$h (x) = x^{4} + x^{3} \cdot - 3 - 36 x \cdot x - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$h (x) = x^{4} - 3 \cdot x^{3} - 36 x \cdot x - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1

Bewege $x$ .

$h (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 36 (x \cdot x) - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$h (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 36 x^{2} - 36 x \cdot - 3$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 36$ .

$h (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 36 x^{2} + 108 x$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- 3, - 36, 108$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - 3 |, | - 36 |, | 108 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | 108 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $108$ ist $108$ .

$b_{1} = 108 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $108$ und $1$ .

$b_{1} = 109$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$b_{2} = 3 + | - 36 | + | 108 |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 36$ und $0$ ist $36$ .

$b_{2} = 3 + 36 + | 108 |$

Schritt 5.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $108$ ist $108$ .

$b_{2} = 3 + 36 + 108$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ und $36$ .

$b_{2} = 39 + 108$

Schritt 5.2.2

Addiere $39$ und $108$ .

$b_{2} = 147$

Schritt 5.3

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 147$

Schritt 5.4

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 147$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 109$ oder $b_{2} = 147$ .

Kleinere Schranke: $109$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $h (x) = - 5 x (x^{2} - 36) (x - 3)$ liegt zwischen $- 109$ und $109$ .

$- 109$ und $109$