Algebravorstufe Beispiele

$2 (x^{2} + 6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 2 (6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} + 4 (- 4 y) = 20$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y = 20$

Schritt 2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 16$ und $c = 2 x^{2} + 12 x - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Addiere $256$ und $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $32$ aus $- 192 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $32$ aus $576$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Addiere $256$ und $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $32$ aus $- 192 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $32$ aus $576$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6.4

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6.5

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 16$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 20$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Addiere $256$ und $320$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ heraus.

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Schritt 7.1.6.1

Faktorisiere $32$ aus $- 32 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6.2

Faktorisiere $32$ aus $- 192 x$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6.3

Faktorisiere $32$ aus $576$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6.4

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6.5

Faktorisiere $32$ aus $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ als ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

Schritt 9

Die gegebene Gleichung $y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$