Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{x + 3} + \frac{3}{y + 7} = \frac{5}{y^{2} + 9 y + 14}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{x + 3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{y^{2} + 9 y + 14} - \frac{1}{x + 3}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y^{2} + 9 y + 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $14$ und deren Summe $9$ ist.

$2, 7$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 7, (y + 2) (y + 7), x + 3$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Der Teiler von $y + 7$ ist $y + 7$ selbst.

$(y + 7) = y + 7$

$(y + 7)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.6

Der Teiler von $y + 2$ ist $y + 2$ selbst.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Der Teiler von $y + 7$ ist $y + 7$ selbst.

$(y + 7) = y + 7$

$(y + 7)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $x + 3$ ist $x + 3$ selbst.

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $y + 7, y + 2, y + 7, x + 3$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(y + 7) (y + 2) (x + 3)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$ mit $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y + 7} = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} - \frac{1}{x + 3}$ mit $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ .

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 7$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $y + 7$ aus $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ heraus.

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) ((y + 2) (x + 3))) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y + 7} ((y + 7) ((y + 2) (x + 3))) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 ((y + 2) (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $(y + 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (y (x + 3) + 2 (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (y x + y \cdot 3 + 2 (x + 3)) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (y x + y \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 (y x + 3 \cdot y + 2 x + 2 \cdot 3) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 (y x + 3 y + 2 x + 6) = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (y x) + 3 (3 y) + 3 (2 x) + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 y x + 9 y + 3 (2 x) + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 3 \cdot 6 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 2) (y + 7)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(y + 7) (y + 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $(y + 7) (y + 2)$ aus $(y + 2) (y + 7)$ heraus.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 7) (y + 2) (1)} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = \frac{5}{(y + 7) (y + 2) \cdot 1} ((y + 7) (y + 2) (x + 3)) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 (x + 3) - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 5 \cdot 3 - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - \frac{1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x + 3}$ in den Zähler.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((y + 7) (y + 2) (x + 3))$

Schritt 3.3.1.4.2

Faktorisiere $x + 3$ aus $(y + 7) (y + 2) (x + 3)$ heraus.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((x + 3) ((y + 7) (y + 2)))$

Schritt 3.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 + \frac{- 1}{x + 3} ((x + 3) ((y + 7) (y + 2)))$

Schritt 3.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - ((y + 7) (y + 2))$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $(y + 7) (y + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y (y + 2) + 7 (y + 2))$

Schritt 3.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y \cdot y + y \cdot 2 + 7 (y + 2))$

Schritt 3.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y \cdot y + y \cdot 2 + 7 y + 7 \cdot 2)$

Schritt 3.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + y \cdot 2 + 7 y + 7 \cdot 2)$

Schritt 3.3.1.6.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 2 \cdot y + 7 y + 7 \cdot 2)$

Schritt 3.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 2 y + 7 y + 14)$

Schritt 3.3.1.6.2

Addiere $2 y$ und $7 y$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - (y^{2} + 9 y + 14)$

Schritt 3.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - (9 y) - 1 \cdot 14$

Schritt 3.3.1.8

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1.8.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - 9 y - 1 \cdot 14$

Schritt 3.3.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x + 15 - y^{2} - 9 y - 14$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $14$ von $15$ .

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 = 5 x - y^{2} - 9 y + 1$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 + y^{2} = 5 x - 9 y + 1$

Schritt 4.1.2

Addiere $9 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x + 9 y + 6 x + 18 + y^{2} + 9 y = 5 x + 1$

Schritt 4.1.3

Addiere $9 y$ und $9 y$ .

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y = 5 x + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x = 1$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $3 y x + 6 x + 18 + y^{2} + 18 y - 5 x - 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $5 x$ von $6 x$ .

$3 y x + x + 18 + y^{2} + 18 y - 1 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $18$ .

$3 y x + x + y^{2} + 18 y + 17 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3 x + 18$ und $c = x + 17$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (3 x + 18) \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.4

Schreibe ${(3 x + 18)}^{2}$ als $(3 x + 18) (3 x + 18)$ um.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5

Multipliziere $(3 x + 18) (3 x + 18)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.6.2

Addiere $54 x$ und $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.10

Subtrahiere $4 x$ von $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.11

Subtrahiere $68$ von $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ und deren Summe gleich $b = 104$ ist.

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Schritt 4.5.1.12.1.1

Faktorisiere $104$ aus $104 x$ heraus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12.1.2

Schreibe $104$ um als $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe ${(3 x + 18)}^{2}$ als $(3 x + 18) (3 x + 18)$ um.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.5

Multipliziere $(3 x + 18) (3 x + 18)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.6.2

Addiere $54 x$ und $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.10

Subtrahiere $4 x$ von $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.11

Subtrahiere $68$ von $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ und deren Summe gleich $b = 104$ ist.

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Schritt 4.6.1.12.1.1

Faktorisiere $104$ aus $104 x$ heraus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12.1.2

Schreibe $104$ um als $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{- (3 x) - 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6.5

Schreibe $- 18$ als $- 1 (18)$ um.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (18)$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18) + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18) - 1 (- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x + 18) - 1 (- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.6.9

Schreibe $- (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ als $- 1 (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ um.

$y = \frac{- 1 (3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.6.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 3 x - 1 \cdot 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{{(3 x + 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.4

Schreibe ${(3 x + 18)}^{2}$ als $(3 x + 18) (3 x + 18)$ um.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(3 x + 18) (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.5

Multipliziere $(3 x + 18) (3 x + 18)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x + 18) + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x + 18) - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x \cdot 18 + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 18 (3 x) + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 18 \cdot 18 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.1.6

Mutltipliziere $18$ mit $18$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 54 x + 54 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.6.2

Addiere $54 x$ und $54 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot 1 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 \cdot (x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 108 x + 324 - 4 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.10

Subtrahiere $4 x$ von $108 x$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 324 - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.11

Subtrahiere $68$ von $324$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.12.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 256 = 2304$ und deren Summe gleich $b = 104$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.12.1.1

Faktorisiere $104$ aus $104 x$ heraus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 104 (x) + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12.1.2

Schreibe $104$ um als $32$ plus $72$

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + (32 + 72) x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{9 x^{2} + 32 x + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1.12.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x^{2} + 32 x) + 72 x + 256}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{x (9 x + 32) + 8 (9 x + 32)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.1.12.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x + 32$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 \pm \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 3 x - 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{- (3 x) - 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7.5

Schreibe $- 18$ als $- 1 (18)$ um.

$y = \frac{- (3 x) - 1 \cdot 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (18)$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18) - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18) - (\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x + 18) - (\sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ heraus.

$y = \frac{- (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.7.9

Schreibe $- (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ als $- 1 (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})$ um.

$y = \frac{- 1 (3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)})}{2}$

Schritt 4.7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$

Schritt 5

Die gegebene Gleichung $y = - \frac{3 x + 18 - \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}, - \frac{3 x + 18 + \sqrt{(9 x + 32) (x + 8)}}{2}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$