Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{15} x - 1 = 0$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{15} x - 1 = 0$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{15}$ und $x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{15} - 1 = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $15$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$15 (\frac{x^{2}}{3}) + 15 (\frac{x}{15}) + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$3 (5) (\frac{x^{2}}{3}) + 15 (\frac{x}{15}) + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (5 (\frac{x^{2}}{3})) + 15 (\frac{x}{15}) + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + 15 (\frac{x}{15}) + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{2} + 15 (\frac{x}{15}) + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{2} + x + 15 \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$5 x^{2} + x - 15 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 1$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 15)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 15$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 300}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $300$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{10}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 15$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 300}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.3

Addiere $1$ und $300$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{10}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{301}}{10}$

Schritt 6.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{301}}{10}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{301}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{301})}{10}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{301})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{301})}{10}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - \sqrt{301}}{10}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 15$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot - 15}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 300}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1$ und $300$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{301}}{10}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{301}}{10}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{301}}{10}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{301}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{301})}{10}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (\sqrt{301})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{301})}{10}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + \sqrt{301}}{10}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{301}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{301}}{10}$

Schritt 9

Die gegebene Gleichung $x = - \frac{1 - \sqrt{301}}{10}, - \frac{1 + \sqrt{301}}{10}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$