Algebravorstufe Beispiele

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ als Gleichung.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ .

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch $\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y = \frac{x (- x^{2}) + 23 x^{2} - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $23 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) - 104 x}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 104 x$ heraus.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2}) + x (23 x)$ heraus.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- x^{2} + 23 x) + x \cdot - 104$ heraus.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} + \frac{- 308}{x - 11}$

Schritt 2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104)}{x - 11} - \frac{308}{x - 11}$

Schritt 3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x (- x^{2} + 23 x - 104) - 308}{x - 11}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (- x^{2}) + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + x (23 x) + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Schritt 4.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x + x \cdot - 104 - 308}{x - 11}$

Schritt 4.2.3

Bringe $- 104$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{- x \cdot x^{2} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{- (x^{2} x) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{- (x^{2} x^{1}) + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- x^{2 + 1} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x \cdot x - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 (x \cdot x) - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 \cdot x - 308}{x - 11}$

$y = \frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x - 11}$

Schritt 4.4

Schreibe $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.4.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

$q = \pm 1$

Schritt 4.4.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 308, \pm 2, \pm 154, \pm 4, \pm 77, \pm 7, \pm 44, \pm 11, \pm 28, \pm 14, \pm 22$

Schritt 4.4.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.4.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$- {(- 2)}^{3} + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- - 8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$8 + 23 {(- 2)}^{2} - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$8 + 23 \cdot 4 - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.5

Mutltipliziere $23$ mit $4$ .

$8 + 92 - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.6

Addiere $8$ und $92$ .

$100 - 104 \cdot - 2 - 308$

Schritt 4.4.1.3.7

Mutltipliziere $- 104$ mit $- 2$ .

$100 + 208 - 308$

Schritt 4.4.1.3.8

Addiere $100$ und $208$ .

$308 - 308$

Schritt 4.4.1.3.9

Subtrahiere $308$ von $308$ .

$0$

Schritt 4.4.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308}{x + 2}$

Schritt 4.4.1.5

Dividiere $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ durch $x + 2$ .

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Schritt 4.4.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$23 x^{2}$

$104 x$

$308$

Schritt 4.4.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$

Schritt 4.4.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 4.4.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 4.4.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$

Schritt 4.4.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Schritt 4.4.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$

Schritt 4.4.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					+	$25 x^{2}$	+	$50 x$

Schritt 4.4.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x^{2} + 50 x$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$

Schritt 4.4.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$

Schritt 4.4.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Schritt 4.4.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 154 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$

Schritt 4.4.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							-	$154 x$	-	$308$

Schritt 4.4.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 154 x - 308$

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$

Schritt 4.4.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	+	$25 x$	-	$154$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	+	$23 x^{2}$	-	$104 x$	-	$308$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$25 x^{2}$	-	$104 x$
					-	$25 x^{2}$	-	$50 x$
							-	$154 x$	-	$308$
							+	$154 x$	+	$308$
										$0$

Schritt 4.4.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} + 25 x - 154$

Schritt 4.4.1.6

Schreibe $- x^{3} + 23 x^{2} - 104 x - 308$ als eine Menge von Faktoren.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 x - 154)}{x - 11}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 154 = 154$ und deren Summe gleich $b = 25$ ist.

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Schritt 4.4.2.1.1

Faktorisiere $25$ aus $25 x$ heraus.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 25 (x) - 154)}{x - 11}$

Schritt 4.4.2.1.2

Schreibe $25$ um als $11$ plus $14$

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + (11 + 14) x - 154)}{x - 11}$

Schritt 4.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x + 2) (- x^{2} + 11 x + 14 x - 154)}{x - 11}$

Schritt 4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{(x + 2) ((- x^{2} + 11 x) + 14 x - 154)}{x - 11}$

Schritt 4.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{(x + 2) (x (- x + 11) - 14 (- x + 11))}{x - 11}$

Schritt 4.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 11$ .

$y = \frac{(x + 2) ((- x + 11) (x - 14))}{x - 11}$

$y = \frac{(x + 2) (- x + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x + 11$ und $x - 11$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{(x + 2) (- (x) + 11) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5.2

Schreibe $11$ als $- 1 (- 11)$ um.

$y = \frac{(x + 2) (- (x) - 1 (- 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 11)$ heraus.

$y = \frac{(x + 2) (- (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5.4

Schreibe $- (x - 11)$ als $- 1 (x - 11)$ um.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{(x + 2) (- 1 (x - 11)) (x - 14)}{x - 11}$

Schritt 5.6

Dividiere $((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$ durch $1$ .

$y = ((x + 2) \cdot (- 1)) (x - 14)$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = (x \cdot - 1 + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Schritt 7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = (- 1 \cdot x + 2 \cdot - 1) (x - 14)$

Schritt 8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = (- 1 \cdot x - 2) (x - 14)$

Schritt 9

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = (- x - 2) (x - 14)$

Schritt 10

Multipliziere $(- x - 2) (x - 14)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x (x - 14) - 2 (x - 14)$

Schritt 10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 (x - 14)$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x \cdot x - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Schritt 11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.1.1.1

Bewege $x$ .

$y = - (x \cdot x) - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Schritt 11.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = - x^{2} - x \cdot - 14 - 2 x - 2 \cdot - 14$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x - 2 \cdot - 14$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 14$ .

$y = - x^{2} + 14 x - 2 x + 28$

Schritt 11.2

Subtrahiere $2 x$ von $14 x$ .

$y = - x^{2} + 12 x + 28$

Schritt 12

Wenn nach $y$ aufgelöst wird, ist $y$ nicht direkt abhängig von $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x^{2}$