Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2}}{50^{2}} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{20^{2}} = 1$

Schritt 1.2

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{400} = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2500}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{400} = 1 - \frac{x^{2}}{2500}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $400$ .

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $400$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$400 \frac{y^{2}}{400} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $400 (1 - \frac{x^{2}}{2500})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 400 \cdot 1 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $400$ mit $1$ .

$y^{2} = 400 + 400 (- \frac{x^{2}}{2500})$

Schritt 4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{2500}$ in den Zähler.

$y^{2} = 400 + 400 \frac{- x^{2}}{2500}$

Schritt 4.2.1.3.2

Faktorisiere $100$ aus $400$ heraus.

$y^{2} = 400 + 100 (4) \frac{- x^{2}}{2500}$

Schritt 4.2.1.3.3

Faktorisiere $100$ aus $2500$ heraus.

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

Schritt 4.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 400 + 100 \cdot 4 \frac{- x^{2}}{100 \cdot 25}$

Schritt 4.2.1.3.5

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 400 + 4 \frac{- x^{2}}{25}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $4$ und $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 400 + \frac{4 (- x^{2})}{25}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y^{2} = 400 + \frac{- 4 x^{2}}{25}$

Schritt 4.2.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 400 - \frac{4 x^{2}}{25}$

Schritt 5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{400 - \frac{4 x^{2}}{25}}$ .

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Schritt 6.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{20^{2} - \frac{4 x^{2}}{25}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $\frac{4 x^{2}}{25}$ als ${(\frac{2 x}{5})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{20^{2} - {(\frac{2 x}{5})}^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 20$ und $b = \frac{2 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 8

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 9

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5 + 2 x$ heraus.

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 11.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 12

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 13

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5 - 2 x$ heraus.

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Schritt 15.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 15.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 15.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{2 (50 + x)}{5}$ mit $\frac{2 (50 - x)}{5}$ .

$y = \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 18

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 19

Schreibe $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ als ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ um.

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Schritt 19.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (50 + x) (50 - x)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 19.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 19.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 20

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 21

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 22

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(20 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 23

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{(\frac{20 \cdot 5}{5} + \frac{2 x}{5}) (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{20 \cdot 5 + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 25.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5 + 2 x$ heraus.

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Schritt 25.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 x}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 25.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 25.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 \cdot 5) + 2 (x)$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (10 \cdot 5 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 25.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 26

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 27

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot (\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{2 x}{5})}$

Schritt 28

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{20 \cdot 5 - 2 x}{5}}$

Schritt 29

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 29.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5 - 2 x$ heraus.

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Schritt 29.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 \cdot 5$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) - 2 x}{5}}$

Schritt 29.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)}{5}}$

Schritt 29.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 \cdot 5) + 2 (- x)$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (10 \cdot 5 - x)}{5}}$

Schritt 29.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x)}{5} \cdot \frac{2 (50 - x)}{5}}$

Schritt 30

Mutltipliziere $\frac{2 (50 + x)}{5}$ mit $\frac{2 (50 - x)}{5}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2 (50 + x) (2 (50 - x))}{5 \cdot 5}}$

Schritt 31

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{5 \cdot 5}}$

Schritt 32

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}}$

Schritt 33

Schreibe $\frac{4 (50 + x) (50 - x)}{25}$ als ${(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))$ um.

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Schritt 33.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4 (50 + x) (50 - x)$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{25}}$

Schritt 33.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 33.3

Ordne den Bruch $\frac{2^{2} ((50 + x) (50 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \sqrt{{(\frac{2}{5})}^{2} ((50 + x) (50 - x))}$

Schritt 34

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - (\frac{2}{5} \cdot \sqrt{(50 + x) (50 - x)})$

Schritt 35

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\sqrt{(50 + x) (50 - x)}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$

Schritt 36

Die gegebene Gleichung $y = \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{(50 + x) (50 - x)}}{5}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$