Algebravorstufe Beispiele

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = - 9$ , $b = - 108$ und $c = 36 x^{2} - 72 x + 36$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{108 \pm \sqrt{{(- 108)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36))}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 108$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 72$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.5

Addiere $11664$ und $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $1296$ aus $- 2592 x$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $1296$ aus $12960$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $1296$ aus $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ als ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe $1296$ als $36^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.1.9

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Schritt 3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 3.5

Schreibe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ als $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ um.

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 108$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 72$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.5

Addiere $11664$ und $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $1296$ aus $- 2592 x$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $1296$ aus $12960$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $1296$ aus $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ als ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe $1296$ als $36^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.1.9

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Schritt 4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4.5

Schreibe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ als $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ um.

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - (6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = - 6 - (2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 108$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 - 4 \cdot - 9 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 \cdot (36 x^{2} - 72 x + 36)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 36 (36 x^{2}) + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} + 36 (- 72 x) + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 72$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 36 \cdot 36}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $36$ mit $36$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{11664 + 1296 x^{2} - 2592 x + 1296}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.5

Addiere $11664$ und $1296$ .

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} - 2592 x + 12960$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) - 2592 x + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $1296$ aus $- 2592 x$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2}) + 1296 (- 2 x) + 12960}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $1296$ aus $12960$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 x^{2} + 1296 (- 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $1296$ aus $1296 x^{2} + 1296 (- 2 x)$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $1296$ aus $1296 (x^{2} - 2 x) + 1296 \cdot 10$ heraus.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{1296 (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $1296 (x^{2} - 2 x + 10)$ als ${(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $1296$ als $36^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{36^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{108 \pm \sqrt{{(6^{2})}^{2} (x^{2} - 2 x + 10)}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{108 \pm 6^{2} \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.1.9

Potenziere $6$ mit $2$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{2 \cdot - 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$y = \frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{108 \pm 36 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 18}$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$

Schritt 5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 5.5

Schreibe $- 1 \cdot (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ als $- (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$ um.

$y = - (6 \pm 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 5.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - (6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 \cdot 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$y = - 6 - (- 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10})$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

$y = - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$

Schritt 7

Die gegebene Gleichung $y = - 6 - 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}, - 6 + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$