Algebravorstufe Beispiele

$36 x^{2} + 9 y^{2} + 48 x - 36 y + 43 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 36$ und $c = 36 x^{2} + 48 x + 43$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 (36 x^{2}) - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $43$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 1548}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $1548$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1296 x^{2} - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $- 1728 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $- 252$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 36 \cdot - 7 = 252$ und deren Summe gleich $b = - 48$ ist.

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Schritt 3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2.1.2

Schreibe $- 48$ um als $- 6$ plus $- 42$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} + (- 6 - 42) x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 6 x - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 36 x^{2} - 6 x) - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (6 x (- 6 x - 1) + 7 (- 6 x - 1))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 6 x - 1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)$ als $6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 (36 x^{2}) - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $43$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 1548}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $1548$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1296 x^{2} - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $- 1728 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $- 252$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.6.2.1

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Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $- 48$ um als $- 6$ plus $- 42$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} + (- 6 - 42) x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 6 x - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 36 x^{2} - 6 x) - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (6 x (- 6 x - 1) + 7 (- 6 x - 1))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 6 x - 1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)$ als $6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 36$ mit $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 9 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 \cdot (36 x^{2} + 48 x + 43)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 36 (36 x^{2}) - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $36$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 36 (48 x) - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $- 36$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 36 \cdot 43}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $43$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 1296 x^{2} - 1728 x - 1548}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $1548$ von $1296$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{- 1296 x^{2} - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2} - 1728 x - 252$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $36$ aus $- 1296 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) - 1728 x - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $36$ aus $- 1728 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) - 252}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $36$ aus $- 252$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2}) + 36 (- 48 x)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $36$ aus $36 (- 36 x^{2} - 48 x) + 36 (- 7)$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.6.2.1

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Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $- 48$ aus $- 48 x$ heraus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 48 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Schreibe $- 48$ um als $- 6$ plus $- 42$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} + (- 6 - 42) x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 36 x^{2} - 6 x - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 36 x^{2} - 6 x) - 42 x - 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (6 x (- 6 x - 1) + 7 (- 6 x - 1))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 6 x - 1$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

$y = \frac{36 \pm \sqrt{36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $36 (- 6 x - 1) (6 x + 7)$ als $6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} (- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{6^{2} ((- 6 x - 1) (6 x + 7))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{36 \pm 6 \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{18}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{6 + \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

$y = \frac{6 - \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$

Schritt 7

Die gegebene Gleichung $y = \frac{6 + \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}, \frac{6 - \sqrt{(- 6 x - 1) (6 x + 7)}}{3}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$