Algebravorstufe Beispiele

$3 x^{2} + 4 y^{2} - 6 x - 40 y + 103 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 40$ und $c = 3 x^{2} - 6 x + 103$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $1648$ von $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $96 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3.9

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.7.4

Schreibe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $1648$ von $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $96 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.6.3.9

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.7.4

Schreibe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}$ und $8$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$y = \frac{4 (10) + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x i \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 i \sqrt{3}$ heraus.

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (x i \sqrt{3}) + 4 (- i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 4.4.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (10) + 4 (x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 4.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.6.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 40$ mit $2$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 4 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 \cdot (3 x^{2} - 6 x + 103)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 16 (3 x^{2}) - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} - 16 (- 6 x) - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 16$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 16 \cdot 103}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $103$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 48 x^{2} + 96 x - 1648}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $1648$ von $1600$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 x^{2} + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2} + 96 x - 48$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1.1

Faktorisiere $48$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 96 x - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.1.2

Faktorisiere $48$ aus $96 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) - 48}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.1.3

Faktorisiere $48$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2}) + 48 (2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.1.4

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2}) + 48 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.1.5

Faktorisiere $48$ aus $48 (- x^{2} + 2 x) + 48 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $1$ plus $1$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.1.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x^{2} + x + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x^{2} + x) + x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 ((- x + 1) (x - 1))}}{2 \cdot 4}$

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- x + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.1.6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) + 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.4

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.5

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.6

Potenziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{48 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6.3.9

Mutltipliziere $48$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{- 48 {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $- 48 {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $- 48$ heraus.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{16 (- 3) {(x - 1)}^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 3 {(x - 1)}^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.3

Bewege $- 3$ .

$y = \frac{40 \pm \sqrt{4^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.4

Schreibe $4^{2} {(x - 1)}^{2}$ als ${(4 (x - 1))}^{2}$ um.

$y = \frac{40 \pm \sqrt{{(4 (x - 1))}^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.11

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{40 \pm 4 (x - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x + 4 \cdot - 1) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x - 4) (i \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.14

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{40 \pm (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ und $8$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $40$ als $- 1 (- 40)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot - 40 - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 40) - (4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $4$ aus $- 1 (- 40 + 4 x i \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3})$ heraus.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{8}$

Schritt 5.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 (2)}$

Schritt 5.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{4 (- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3}))}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 (- 10 + x i \sqrt{3} - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{- 1 (i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10)}{2}$

Schritt 5.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}$

$y = - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$

Schritt 7

Die gegebene Gleichung $y = \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 10}{2}, - \frac{i x \sqrt{3} - i \sqrt{3} - 10}{2}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$