Algebravorstufe Beispiele

$3 x^{2} + y^{2} + 18 x - 2 y + 4 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = 3 x^{2} + 18 x + 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $12$ aus $- 72 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ als $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $12$ aus $- 72 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ als $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (3 x^{2} + 18 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (3 x^{2}) - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 4 (18 x) - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 x^{2} - 72 x - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 12 x^{2} - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2} - 72 x - 12$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) - 72 x - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $12$ aus $- 72 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2}) + 12 (- 6 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (- x^{2} - 6 x) + 12 (- 1)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{12 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $12 (- x^{2} - 6 x - 1)$ als $2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3) (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (3 (- x^{2} - 6 x - 1))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

$y = 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$

Schritt 7

Die gegebene Gleichung $y = 1 + \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}, 1 - \sqrt{3 (- x^{2} - 6 x - 1)}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$