Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} y + 8 x y^{2} = - 2$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} y + 8 x y^{2} + 2 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 8 x$ , $b = 5 x^{2}$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{{(5 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x \cdot 2)}}{2 (8 x)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{2}$ an.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4} - 64 x$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{2}$ an.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4} - 64 x$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2}) + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{x (25 x^{3} - 64)}$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - 1 (- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 5.7

Schreibe $- (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ als $- 1 (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ um.

$y = \frac{- 1 (5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{2}$ an.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{5^{2} {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 {(x^{2})}^{2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{2 \cdot 2} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 4 \cdot (8 x) \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 32 x \cdot 2}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 32$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{25 x^{4} - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4} - 64 x$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $25 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) - 64 x}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3}) + x \cdot - 64}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (25 x^{3}) + x \cdot - 64$ heraus.

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{2 \cdot (8 x)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} \pm \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2}) - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2}) - (\sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{2}) - (\sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ heraus.

$y = \frac{- (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 6.7

Schreibe $- (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ als $- 1 (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})$ um.

$y = \frac{- 1 (5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)})}{16 x}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

$y = - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$

Schritt 8

Die gegebene Gleichung $y = - \frac{5 x^{2} - \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}, - \frac{5 x^{2} + \sqrt{x (25 x^{3} - 64)}}{16 x}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$