Algebravorstufe Beispiele

$49 x^{2} = 81 y^{2} + 3969$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $81 y^{2} + 3969 = 49 x^{2}$ um.

$81 y^{2} + 3969 = 49 x^{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $3969$ von beiden Seiten der Gleichung.

$81 y^{2} = 49 x^{2} - 3969$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $81 y^{2} = 49 x^{2} - 3969$ durch $81$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $81 y^{2} = 49 x^{2} - 3969$ durch $81$ .

$\frac{81 y^{2}}{81} = \frac{49 x^{2}}{81} + \frac{- 3969}{81}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 y^{2}}{81} = \frac{49 x^{2}}{81} + \frac{- 3969}{81}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{81} + \frac{- 3969}{81}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $- 3969$ durch $81$ .

$y^{2} = \frac{49 x^{2}}{81} - 49$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{49 x^{2}}{81} - 49}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{49 x^{2}}{81} - 49}$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $49$ aus $\frac{49 x^{2}}{81} - 49$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $49$ aus $\frac{49 x^{2}}{81}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x^{2}}{81} - 49}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $49$ aus $- 49$ heraus.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x^{2}}{81} + 49 (- 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $49$ aus $49 \frac{x^{2}}{81} + 49 (- 1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x^{2}}{81} - 1)}$

Schritt 5.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x^{2}}{9^{2}} - 1)}$

Schritt 5.3

Schreibe $\frac{x^{2}}{9^{2}}$ als ${(\frac{x}{9})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{49 ({(\frac{x}{9})}^{2} - 1)}$

Schritt 5.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{49 ({(\frac{x}{9})}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 5.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{9}$ und $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 5.6

Schreibe $49 (\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)$ als $7^{2} ((\frac{x}{3^{2}} + 1) (\frac{x}{9} - 1))$ um.

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Schritt 5.6.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{7^{2} (\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 5.6.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{7^{2} (\frac{x}{3^{2}} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 5.6.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \pm \sqrt{7^{2} ((\frac{x}{3^{2}} + 1) (\frac{x}{9} - 1))}$

Schritt 5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm 7 \sqrt{(\frac{x}{3^{2}} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 5.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + \frac{9}{9}) (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9})}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9})}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot \frac{x - 1 \cdot 9}{9}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 12

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot \frac{x - 9}{9}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{x + 9}{9}$ mit $\frac{x - 9}{9}$ .

$y = 7 \sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{9 \cdot 9}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 14

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$y = 7 \sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{81}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 15

Schreibe $\frac{(x + 9) (x - 9)}{81}$ als ${(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))$ um.

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Schritt 15.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 9) (x - 9)$ heraus.

$y = 7 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{81}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 15.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $9^{2}$ aus $81$ heraus.

$y = 7 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{9^{2} \cdot 1}}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 15.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{9^{2} \cdot 1}$ um.

$y = 7 \sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

$y = 7 \sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = 7 (\frac{1}{9} \cdot \sqrt{(x + 9) (x - 9)})$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ .

$y = 7 (\frac{\sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9})$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 18

Kombiniere $7$ und $\frac{\sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + 1) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 19

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{(\frac{x}{9} + \frac{9}{9}) (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} - 1)}$

Schritt 21

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9})}$

Schritt 22

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot (\frac{x}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9})}$

Schritt 23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot \frac{x - 1 \cdot 9}{9}}$

Schritt 24

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{x + 9}{9} \cdot \frac{x - 9}{9}}$

Schritt 25

Mutltipliziere $\frac{x + 9}{9}$ mit $\frac{x - 9}{9}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{9 \cdot 9}}$

Schritt 26

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{(x + 9) (x - 9)}{81}}$

Schritt 27

Schreibe $\frac{(x + 9) (x - 9)}{81}$ als ${(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))$ um.

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Schritt 27.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 9) (x - 9)$ heraus.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{81}}$

Schritt 27.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $9^{2}$ aus $81$ heraus.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{9^{2} \cdot 1}}$

Schritt 27.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 9) (x - 9))}{9^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))}$

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \sqrt{{(\frac{1}{9})}^{2} ((x + 9) (x - 9))}$

Schritt 28

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 (\frac{1}{9} \cdot \sqrt{(x + 9) (x - 9)})$

Schritt 29

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $\sqrt{(x + 9) (x - 9)}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - 7 \frac{\sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

Schritt 30

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = \frac{- 7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

Schritt 31

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$

Schritt 32

Die gegebene Gleichung $y = \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}, - \frac{7 \sqrt{(x + 9) (x - 9)}}{9}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$