Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{2} + 5 y^{2} - 28 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} - 28 = - 8 x^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $28$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y^{2} = - 8 x^{2} + 28$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{2} = - 8 x^{2} + 28$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y^{2} = - 8 x^{2} + 28$ durch $5$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{- 8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{- 8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt{\frac{- 8 x^{2} + 28}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 6

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2} + 28$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2}) + 28}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 (7)}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x^{2}) + 4 (7)$ heraus.

$y = \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 7

Schreibe $\sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$ als $\frac{\sqrt{4 (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \frac{\sqrt{4 (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{\sqrt{2^{2} (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 10.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}, - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 10.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 11

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{- \frac{8 x^{2}}{5} + \frac{28}{5}}$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{- 8 x^{2} + 28}{5}}$

Schritt 13

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2} + 28$ heraus.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2}) + 28}{5}}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 (7)}{5}}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 2 x^{2}) + 4 (7)$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$

Schritt 14

Schreibe $\sqrt{\frac{4 (- 2 x^{2} + 7)}{5}}$ als $\frac{\sqrt{4 (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{4 (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{2^{2} (- 2 x^{2} + 7)}}{\sqrt{5}}$

Schritt 15.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$

Schritt 16

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - (\frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 17

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 17.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 17.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 17.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 17.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 17.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 17.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 17.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 17.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 17.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 17.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 17.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{- 2 x^{2} + 7} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 18

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

$y = - \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$

Schritt 19

Die gegebene Gleichung $y = \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5 (- 2 x^{2} + 7)}}{5}$ kann nicht als $y = k x^{2}$ geschrieben werden, folglich variiert $y$ nicht direkt mit $x^{2}$ .

$y$ ist nicht direkt porportional zu $x$