Algebravorstufe Beispiele

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 s + 1} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 s + 1^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Schritt 1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 s = 2 \cdot s \cdot 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 s}{s^{2} - 2 \cdot s \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = s$ und $b = 1$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{1}{s^{2} + 6 s - 7}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $s^{2} + 6 s - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $6$ ist.

$- 1, 7$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$

Schritt 2

Um $\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{s + 7}{s + 7}$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} \cdot \frac{s + 7}{s + 7} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$

Schritt 3

Um $\frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{s - 1}{s - 1}$ .

$\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}} \cdot \frac{s + 7}{s + 7} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)} \cdot \frac{s - 1}{s - 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(s + 7) {(s - 1)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{2 s}{{(s - 1)}^{2}}$ mit $\frac{s + 7}{s + 7}$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{1}{(s - 1) (s + 7)} \cdot \frac{s - 1}{s - 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{(s - 1) (s + 7)}$ mit $\frac{s - 1}{s - 1}$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{(s - 1) (s + 7) (s - 1)}$

Schritt 4.3

Potenziere $s - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1} (s - 1) (s + 7)}$

Schritt 4.4

Potenziere $s - 1$ mit $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1} {(s - 1)}^{1} (s + 7)}$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{1 + 1} (s + 7)}$

Schritt 4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 s (s + 7)}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)} + \frac{s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 s (s + 7) + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 s \cdot s + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $s$ .

$\frac{2 (s \cdot s) + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 2 s \cdot 7 + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{2 s^{2} + 14 s + s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$

Schritt 6.4

Addiere $14 s$ und $s$ .

$\frac{2 s^{2} + 15 s - 1}{{(s - 1)}^{2} (s + 7)}$