Algebravorstufe Beispiele

$- 10 x^{2} + 12 x - 9 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = - 10$ , $b = 12$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 10 \cdot - 9)}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 10 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 10 \cdot - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 40 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 360}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $360$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 216$ als $- 1 (216)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (216)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (6 \sqrt{6})}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$ .

$x = \frac{6 \pm 3 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 10 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 10 \cdot - 9$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 40 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 360}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $360$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 216$ als $- 1 (216)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (216)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (6 \sqrt{6})}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$ .

$x = \frac{6 \pm 3 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{6 + 3 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 10 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 10 \cdot - 9$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 40 \cdot - 9}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $- 9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 360}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $360$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 216$ als $- 1 (216)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (216)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{216}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $216$ als $6^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (6 \sqrt{6})}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{2 \cdot - 10}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 6 i \sqrt{6}}{- 20}$ .

$x = \frac{6 \pm 3 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{6 - 3 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{6 + 3 i \sqrt{6}}{10}, \frac{6 - 3 i \sqrt{6}}{10}$