Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = - 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $3$

Leitkoeffizient: $- 2$

Schritt 2

The leading coefficient needs to be $1$ . If it is not, divide the expression by it to make it $1$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{- 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $(x - 7) {(x + 9)}^{2}$ durch $1$ .

$f (x) = (x - 7) {(x + 9)}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe ${(x + 9)}^{2}$ als $(x + 9) (x + 9)$ um.

$f (x) = (x - 7) ((x + 9) (x + 9))$

Schritt 2.3

Multipliziere $(x + 9) (x + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x - 7) (x (x + 9) + 9 (x + 9))$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x - 7) (x \cdot x + x \cdot 9 + 9 (x + 9))$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x - 7) (x \cdot x + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9)$

Schritt 2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + x \cdot 9 + 9 x + 9 \cdot 9)$

Schritt 2.4.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 9 \cdot x + 9 x + 9 \cdot 9)$

Schritt 2.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 9 x + 9 x + 81)$

Schritt 2.4.2

Addiere $9 x$ und $9 x$ .

$f (x) = (x - 7) (x^{2} + 18 x + 81)$

Schritt 2.5

Multipliziere $(x - 7) (x^{2} + 18 x + 81)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f (x) = x \cdot x^{2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x \cdot x^{2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x) = x^{1 + 2} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (x) = x^{3} + x (18 x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = x^{3} + 18 x \cdot x + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.3.1

Bewege $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 (x \cdot x) + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot 81 - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.4

Bringe $81$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 \cdot x - 7 x^{2} - 7 (18 x) - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 7$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 x - 7 x^{2} - 126 x - 7 \cdot 81$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $81$ .

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 81 x - 7 x^{2} - 126 x - 567$

Schritt 2.7

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $18 x^{2}$ .

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 81 x - 126 x - 567$

Schritt 2.8

Subtrahiere $126 x$ von $81 x$ .

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} - 45 x - 567$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$11, - 45, - 567$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | 11 |, | - 45 |, | - 567 |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - 567 |$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 567$ und $0$ ist $567$ .

$b_{1} = 567 + 1$

Schritt 4.4

Addiere $567$ und $1$ .

$b_{1} = 568$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $11$ ist $11$ .

$b_{2} = 11 + | - 45 | + | - 567 |$

Schritt 5.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 45$ und $0$ ist $45$ .

$b_{2} = 11 + 45 + | - 567 |$

Schritt 5.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 567$ und $0$ ist $567$ .

$b_{2} = 11 + 45 + 567$

Schritt 5.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.2.1

Addiere $11$ und $45$ .

$b_{2} = 56 + 567$

Schritt 5.2.2

Addiere $56$ und $567$ .

$b_{2} = 623$

Schritt 5.3

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 623$

Schritt 5.4

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 623$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 568$ oder $b_{2} = 623$ .

Kleinere Schranke: $568$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = - 2 (x - 7) {(x + 9)}^{2}$ liegt zwischen $- 568$ und $568$ .

$- 568$ und $568$