Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 46 x^{2} - 60 x + 25$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $4$

Leitkoeffizient: $1$

Schritt 2

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- 12, 46, - 60, 25$

Schritt 3

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 3.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - 12 |, | 25 |, | 46 |, | - 60 |$

Schritt 3.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | - 60 |$

Schritt 3.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 60$ und $0$ ist $60$ .

$b_{1} = 60 + 1$

Schritt 3.4

Addiere $60$ und $1$ .

$b_{1} = 61$

Schritt 4

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 12$ und $0$ ist $12$ .

$b_{2} = 12 + | 46 | + | - 60 | + | 25 |$

Schritt 4.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $46$ ist $46$ .

$b_{2} = 12 + 46 + | - 60 | + | 25 |$

Schritt 4.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 60$ und $0$ ist $60$ .

$b_{2} = 12 + 46 + 60 + | 25 |$

Schritt 4.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $25$ ist $25$ .

$b_{2} = 12 + 46 + 60 + 25$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Addiere $12$ und $46$ .

$b_{2} = 58 + 60 + 25$

Schritt 4.2.2

Addiere $58$ und $60$ .

$b_{2} = 118 + 25$

Schritt 4.2.3

Addiere $118$ und $25$ .

$b_{2} = 143$

Schritt 4.3

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 143$

Schritt 4.4

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 143$

Schritt 5

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = 61$ oder $b_{2} = 143$ .

Kleinere Schranke: $61$

Schritt 6

Jede reelle Wurzel von $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 46 x^{2} - 60 x + 25$ liegt zwischen $- 61$ und $61$ .

$- 61$ und $61$