Algebravorstufe Beispiele

$f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$

Schritt 1

Prüfe den Leitkoeffizienten der Funktion. Diese Zahl ist der Koeffizient des Ausdrucks mit dem höchsten Grad.

Höchster Grad: $4$

Leitkoeffizient: $- 2$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{- 2 x^{4}}{- 2} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$f (x) = x^{4} + \frac{25 x^{3}}{- 2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{- 95 x^{2}}{- 2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{90 x}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $- 2$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $90 x$ heraus.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} + \frac{2 (45 x)}{- 2} + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.4.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{45 x}{- 1}$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 1 \cdot (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.5

Schreibe $- 1 \cdot (45 x)$ als $- (45 x)$ um.

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - (45 x) + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $45$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x + \frac{72}{- 2}$

Schritt 2.7

Dividiere $72$ durch $- 2$ .

$f (x) = x^{4} - \frac{25 x^{3}}{2} + \frac{95 x^{2}}{2} - 45 x - 36$

Schritt 3

Erstelle eine Liste der Koeffizienten der Funktion ohne den Leitkoeffizienten $1$ .

$- \frac{25}{2}, \frac{95}{2}, - 45, - 36$

Schritt 4

Es gibt zwei Optionen für die Schranken, $b_{1}$ und $b_{2}$ , von denen die kleinere das Ergebnis darstellt. Um die erste Option für die Schranke zu berechnen, ermittle den Absolutwert des größten Koeffizienten aus der Liste der Koeffizienten. Addiere dann $1$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{1} = | - \frac{25}{2} |, | - 36 |, | - 45 |, | \frac{95}{2} |$

Schritt 4.2

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{1} = | \frac{95}{2} |$

Schritt 4.3

$\frac{95}{2}$ ist ungefähr $47.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{1} = \frac{95}{2} + 1$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{95}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{1} = \frac{95 + 2}{2}$

Schritt 4.6

Addiere $95$ und $2$ .

$b_{1} = \frac{97}{2}$

Schritt 5

Um die zweite Option für Schranken zu berechnen, summiere die Absolutwerte der Koeffizienten in der Liste der Koeffizienten. Wenn die Summe größer als $1$ ist, verwende jene Zahl. Wenn nicht, verwende $1$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

$- \frac{25}{2}$ ist ungefähr $- 12.5$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{25}{2}$ um und entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{25}{2} + | \frac{95}{2} | + | - 45 | + | - 36 |$

Schritt 5.1.2

$\frac{95}{2}$ ist ungefähr $47.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + | - 45 | + | - 36 |$

Schritt 5.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 45$ und $0$ ist $45$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + | - 36 |$

Schritt 5.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 36$ und $0$ ist $36$ .

$b_{2} = \frac{25}{2} + \frac{95}{2} + 45 + 36$

Schritt 5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{25 + 95}{2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $25$ und $95$ .

$b_{2} = 45 + 36 + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $45$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} + 36 + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{45}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45}{1} \cdot \frac{2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $\frac{45}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + 36 + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $36$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $\frac{36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{120}{2}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{36}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2}{2} + \frac{36 \cdot 2}{2} + \frac{120}{2}$

Schritt 5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b_{2} = \frac{45 \cdot 2 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $45$ mit $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 36 \cdot 2 + 120}{2}$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $36$ mit $2$ .

$b_{2} = \frac{90 + 72 + 120}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Addiere $90$ und $72$ .

$b_{2} = \frac{162 + 120}{2}$

Schritt 5.6.2

Addiere $162$ und $120$ .

$b_{2} = \frac{282}{2}$

Schritt 5.6.3

Dividiere $282$ durch $2$ .

$b_{2} = 141$

Schritt 5.7

Ordne die Terme in aufsteigender Folge.

$b_{2} = 1, 141$

Schritt 5.8

Das Maximum ist der größte Wert in dem geordneten Datensatz.

$b_{2} = 141$

Schritt 6

Wähle die kleinere Grenze aus der Alternative $b_{1} = \frac{97}{2}$ oder $b_{2} = 141$ .

Kleinere Schranke: $\frac{97}{2}$

Schritt 7

Jede reelle Wurzel von $f (x) = - 2 x^{4} + 25 x^{3} - 95 x^{2} + 90 x + 72$ liegt zwischen $- \frac{97}{2}$ und $\frac{97}{2}$ .

$- \frac{97}{2}$ und $\frac{97}{2}$